一道年年都会遇到的陈题 三角函数

facebooker

$\Delta ABC$中，$A,B,C$的对边分别为$a,b,c,\cos(A-B)=\frac{2\sin A\sin B}{\sin C},\frac{2}{a}+\frac{1}{b}=1$,则$\triangle ABC$周长的最小值为___

kuing

前几天我的群里扯过，当时我说：

2019-07-20       
大色k(249533164) 0:04:05
第一条式子可以变成 cosA/sinB+cosB/sinA=2，也就是《撸题集》P585 题目 4.10.6，结论是 C=90度，这样就变成了在 2/a+1/b=1 下求 a+b+sqrt(a^2+b^2) 的最小值，而这又是《撸题集》P1025 FAQ 33，用旁切圆法，结果是 10。
所以这题是用两道经典题合成的。
……
大色k(249533164) 16:10:11
其实吧，虽然两道题都被玩烂了，但对学生来说，两道都是难题，再这样合一，简直就是大坑题……

后来我就发了这帖：forum.php?mod=viewthread&tid=6342

facebooker

多谢大佬提供解法。
标答是$cos(A-B)sin(A+B)=2sinAsinB,cos(A-B)-cos(A+B)=2sinAsinB$联立后即可得到$sin(A+B)=1$

isee

回复 3# facebooker

具体过程如何？kuing链接中的三角法，实质用到了不等式，是不容易想到的。

敬畏数学

回复 3# facebooker
这招似乎来得很猛，但我没有明白，大师说明一下。

facebooker

回复 5# 敬畏数学

$cos(A-B)sin(A+B)=2sinAsinB,cos(A-B)-cos(A+B)=2sinAsinB\Rightarrow cos(A-B)sin(A+B)=cos(A-B)-cos(A+B)\Rightarrow cos(A-B)(1-sin(A+B))=cos(A+B)\Rightarrow cos^2(A-B)(1-sin(A+B))^2=cos^2(A+B)=1-sin^2(A+B)=(1+sin(A+B))(1-sin(A+B))\Rightarrow sin(A+B)=1 \Rightarrow C=\frac{\pi}{2}$

isee

回复 6# facebooker

没有论证另一项是否为零，这样一看，还不如这个严谨
forum.php?mod=viewthread&tid=2476

facebooker

回复 7# isee

我确实省略了不少 严重的不严谨了

敬畏数学

回复 6# facebooker
能否从几何图形突破！这代数法把人搞得想睡觉。

facebooker

这题我只想到了这个 得到一个等式后平方再分解因式.没想到几何咋整。

或者得到$\frac{\cos A}{\sin B}+\frac{\cos B}{\sin A}=2$后用分类讨论

$A+B>\frac{\pi}{2}\rightarrow A>\frac{\pi}{2}-B\rightarrow cosA>cos(\frac{\pi}{2}-B)\rightarrow cosA<sinB$
同理得到 $\cos B<\sin A$ 得到$\frac{\cos A}{\sin B}+\frac{\cos B}{\sin A}<2$矛盾！
同理$A+B<\frac{\pi}{2}$也推出矛盾。
填空题 一眼就出答案了 用不到如此严谨。。。

kuing

回复 10# facebooker

这推理也有问题。

facebooker

确实有问题 可能不在一个单调区间。。。谢谢指出

敬畏数学

回复 12# facebooker
怎能这样呢？哎。。。。无语。名头很厉害啊。

facebooker

回复  facebooker
怎能这样呢？哎。。。。无语
敬畏数学 发表于 2019-7-26 16:19

哈哈 我错了 给个反面教材了 引以为鉴啊

敬畏数学

回复 2# kuing
没有更好的办法！还是这个最棒！

kuing

回复 10# facebooker

这推理还是可以救回来的，只是需要用一下 1# 的条件。

利用条件
\[
\cos(A-B)=\frac{2\sin A\sin B}{\sin C}>0
\riff-90\du<A-B<90\du,
\]由和差化积得
\begin{align*}
\cos A-\sin B&=\cos A-\cos(90\du-B)\\
&=-2\sin\left( \frac{A+B}2-45\du \right)\sin\left( \frac{A-B}2+45\du \right)\\
&=-2\sin\left( 45\du-\frac C2 \right)\sin\left( \frac{A-B}2+45\du \right),
\end{align*}由 $-90\du<A-B<90\du$ 知后一项恒为正，故此：
若 $C<90\du$ 则 `\cos A<\sin B`，同理 `\cos B<\sin A`，与 `\cos A/\sin B+\cos B/\sin A=2` 矛盾；
若 $C>90\du$ 则 `\cos A>\sin B`，同理 `\cos B>\sin A`，矛盾`^2`。

facebooker

回复 16# kuing

老大出手 果然不同凡响！。