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做一些补充：
对光滑的连续函数曲线 $f(x)$ 与 $g(x)$，若 $f(x_0)=g(x_0)$，在 $x_0$ 的某一邻域内当 $x\neq x_0$ 时恒有 $f(x)>g(x)$，则 $f'(x_0)=g'(x_0)$，即 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $x=x_0$ 处相切。
若多项式函数曲线 $f(x,y)=0$ 与 $g(x,y)=0$ 在 $(x,y)=(x_0,y_0)$ 处相切，那么 $f(x,y)=0$ 与 $g(x,y)=0$ 用结式消去 $y$ 得 $h_1(x)=0$ 或消去 $x$ 得 $h_2(y)=0$，则 $h_1(x)=0$ 和 $h_2(y)=0$ 必定有重根。
$h_1(x)=0$ 的实数解 $x_0$ 并不意味着对应的方程组 $
\left\{
\begin{aligned}
f(x_0,y)&=0\\
g(x_0,y)&=0
\end{aligned}
\right.$ 中的解 $y_0$ 一定是实数，需要进行检验。
$h_1(x)=0$ 的重根实数解 $x_0$ 和 $h_2(y)=0$ 的重根实数解 $y_0$ 同时满足 $f(x_0,y_0)=g(x_0,y_0)=0$，但并不意味着 $(x_0,y_0)$ 一定是 $f(x,y)=0$ 与 $g(x,y)=0$ 的切点，例如 $f(x,y)=x^2+y^2-r^2$，$g(x,y)=ax^2+by^2-1$ 就是这种情况。但若 $h_1(x)=0$ 有重根实数解 $x_0$，方程组 $
\left\{
\begin{aligned}
f(x_0,y)&=0\\
g(x_0,y)&=0
\end{aligned}
\right.$ 有唯一的公共实数解 $y=y_0$，则 $(x_0,y_0)$ 一定是 $f(x,y)=0$ 与 $g(x,y)=0$ 的切点。 |
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楼主: lemondian
kuing
发表于 2019-9-12 03:13
hejoseph
发表于 2019-9-12 12:29
