圆与抛物线相切

lemondian

在平面直角坐标系$xOy$中，圆$M$与抛物线$C:y^2=4x$恰有一个公共点，且圆$M$与$x$轴相切于$C$的焦点$F$。求圆$M$的半径。

kuing

如图，因圆与抛物线切于 `P`，故 `PM` 为法线，则由光学性质知 `PM` 平分 `\angle HPF`，即 `\angle HPM=\angle MPF=\angle MFP`，而这三个角之和为 $90\du$，可见它们均为 $30\du$，于是 `PH=PF/2`，故 `2=PH+PG=PF/2+PF`，得 `PF=4/3`，从而 `PM=PF/\sqrt3=4\sqrt3/9`。

lemondian

回复 2# kuing
好方法！

lemondian

问题1：在平面直角坐标系$xOy$中，圆$M$与椭圆$C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$恰有一个公共点，且圆$M$与$x$轴相切于$C$的焦点$F$。求圆$M$的半径。
问题2：在平面直角坐标系$xOy$中，圆$M$与双曲线$C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0，b>0)$恰有一个公共点，且圆$M$与$x$轴相切于$C$的焦点$F$。求圆$M$的半径。

lemondian

回复 4# lemondian
沉了...

kuing

回复 5# lemondian

因为上面的几何方法难以移植下来，我试过代数方法，结果也不好看，就懒得码了

lemondian

回复 6# kuing
想要解答，解析法也好呀

kuing

回复 7# lemondian

给你看看结果：椭圆的情况，所求半径为
\[\sqrt{\frac{-27a^4+36a^2b^2-8b^4+a\sqrt{(9a^2-8b^2)^3}}{8b^2}}.\]

lemondian

回复 8# kuing
是不好看。请求贴过程，谢谢。

青青子衿

回复 9# lemondian
你这有点伸手党吧，这好歹也应该把自己写到哪，抑或是遇到什么困难说清楚吧……
（这类问题就是联立方程看判别式吧！）

wwdwwd

不知有没有算错。具体的a，b显然很好算的。。。

kuing

回复 11# wwdwwd

首先点个赞~\(≧▽≦)/~

其次要说一点，引理的证明其实并不需要速度分解，你也知道速度分解普遍难以被接受，所以我帮你补充一个简单证明。

如图，设切线交准线于 `Q`，则有结论 `PF\perp FQ`，从而 `e=PF/PE=\cos\angle FPQ/\cos\angle EPQ`。

PS、由此也可以看出你的图的准线一定是随手画的

至于计算有没有错，我晚点再帮你验证，但方法肯定是 OK 的

wwdwwd

回复 12# kuing

哈哈，是的，因为对于速度分解来说，图形上的准线多远不重要。

wwdwwd

回复 12# kuing

看到你这个垂直，似乎有点印象，好像抛物线见得多。

isee

回复 11# wwdwwd

学习了，这个几何性质用得好

wwdwwd

回复 11# wwdwwd

11楼的极坐标那个分子少乘以（1-e^2）...在kk提示下补上了

kuing

下面来验证 8# 的结果与 wwd 的是不是一样。
对 8# 的结果：

\[\sqrt{\frac{-27a^4+36a^2b^2-8b^4+a\sqrt{(9a^2-8b^2)^3}}{8b^2}}.\]

作代换 `a=c/e`, `b^2=c^2/e^2-c^2` 可化为
\[c\sqrt{\frac{1-20e^2-8e^4+\sqrt{(1+8e^2)^3}}{8e^2(1-e^2)}},\]若再令 `\sqrt{1+8e^2}=t\in(1,3)`，则 `e^2=(t^2-1)/8`，代入上式可化为
\[c\cdot\frac{3-t}{\sqrt{(t+3)(t-1)}},\]（这样看来其实结果也不算难看）
而对 wwd 的结果
\[\frac{8c(1-e^2)}{\sqrt{\bigl(3+\sqrt{1+8e^2}\bigr)^3\bigl(-1+\sqrt{1+8e^2}\bigr)}},\]作以上代换也得到同样的式子，所以是一样的。

wwdwwd

回复 17# kuing

哦，对的，我11楼最后结果的分子，还可以做有理化处理。就是你这个了。
这个才是最简结果。有点神奇，有理化后刚好把8（1-e^2）完全约去，
这里面肯定还有没有发现的东西。。。

lemondian

有两个地方还看不懂：
1.11#$PF=\dfrac{a(1-e^2)}{ecos\alpha +1}$,如何来的？
2.12#中“结论$PF\perp FQ$”,不会证明。
另外双曲线是不是有类似的结论？

kuing

回复 19# lemondian

1、你知道圆锥曲线的极坐标方程吗？
2、这结论在高考题中出现过（2012 安徽理数 20（虽然问法不一样）），所以建议自行解决。