不定方程、牛顿和

hbghlyj

求正整数a,b,c,d，使得它们成递增等差数列，并且可分别表为三个复数x,y,z的和、平方和、立方和、四次方和
答案：
(a,b,c,d)=(0,6,12,18),(3,5,7,9),(6,10,14,18),(6,36,66,96),(713,19,25)
思路：设$x^3+y^3+z^3=b+(b-a)$,则$x^4+y^4+z^4=\frac16(a^4-2a^2(3b+4)+16ab+3
)=b+2(b-a)$
这个不定方程如何解?

青青子衿

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求正整数a,b,c,d，使得它们成递增等差数列，并且可分别表为四个复数x,y,z,w的和、平方和、立方和、四次方和
答案：
(a,b,c,d)=(0,6,12,18),(3,5,7,9),(6,10,14,18),(6,36,66,96),(713,19,25)
思路：设$x^3+y^3+z^3=b+(b-a)$,则$x^4+y^4+z^4=\frac16(a^4-2a^2(3b+4)+16ab+3
)=b+2(b-a)$
这个不定方程如何解?
hbghlyj 发表于 2019-10-4 22:01

\begin{align*}
x\phantom{^1}+y\phantom{^1}+z\phantom{^1}+w\!\phantom{^1}=a\\
x^2+y^2+z^2+w^2=b\\
x^3+y^3+z^3+w^3=c\\
x^4+y^4+z^4+w^4=d\\
\end{align*}
是不是在满足上述这样的不定方程组的条件下
再满足\(\,a\,\),\(\,b\,\),\(\,c\,\),\(\,d\,\)为等差数列的
整数解(a,b,c,d)
但是我感觉(a,b,c,d)取定一组整数等差数列，
上面的方程组就始终有复数解了呀！

hbghlyj

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已改正

青青子衿

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思路：设$x^3+y^3+z^3=b+(b-a)$,则$x^4+y^4+z^4=\frac16(a^4-2a^2(3b+4)+16ab+3)=b+2(b-a)$
hbghlyj 发表于 2019-10-4 22:01

不明白你所谓的“思路”是什么？思路省略的挺多的东西吧？
（其中x^4+y^4+z^4的式子不应该都是幂次的吗？为什么会有常数项？）
\begin{align*}
6\left(x^4+y^4+z^4\right)=
&\phantom{++\,}\left(x+y+z\right)^4\\
&+3\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\\
&+8\left(x+y+z\right)\left(x^3+y^3+z^3\right)\\
&-6\left(x+y+z\right)^2\left(x^2+y^2+z^2\right)\\
\end{align*}
(x + y + z)^4 + 3 (x^2 + y^2 + z^2)^2 +
  8 (x + y + z) (x^3 + y^3 + z^3) -
  6 (x + y + z)^2 (x^2 + y^2 + z^2) // Expand
即便是按牛顿恒等式求，四个字母所满足的恒等式也应该是这样的：
\[ \large{a^4-6a^2b+3b^2+8ac=6d} \]
再由等差数列的条件，又添加两个线性方程
\begin{align*}
\large{\begin{cases}
b-a=c-b\\
d-c=c-b
\end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad
\large{\begin{cases}
c=b+(b-a)\\
d=b+2(b-a)
\end{cases}}
\end{align*}
之后确实可以得到一个二元四次的不定方程，但是也不知道如何求它的整数解。
（构造Pell方程吗？）
a^4 - 6 a^2 b + 3 b^2 + 8 a c - 6 d /. {a -> 6, b -> 36, c -> 66, d -> 96}