寻找三直线斜率的关系

lemondian

已知椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$及$A(m,0),B(\dfrac{a^2}{m},n)$（其中$|m|\ne a$），直线$l$过点A且与椭圆交于不同的两点$P,Q$，设直线$PB,QB,AB$的斜率分别为$k_1,k_2,k_0$，问$k_1+k_2$与$k_0$有什么关系？

kuing

自己看你以前这帖看有没有用得上的 forum.php?mod=viewthread&tid=5846

lemondian

回复 2# kuing
两个贴子的三条直线是不一样的哩

kuing

回复 3# lemondian

我没说它们是一样的，我只是说，看看有没有用得上的东西。

事实上，很明显帖中 2# 的式 (*) 就可以用上，在式 (*) 中代入 `(A,B,m,n,s,t)\to(1/a^2,1/b^2,m,0,a^2/m,n)`，化简后，再用韦达，最终可得
\[k_1+k_2=\frac{2mn}{a^2-m^2},\]而这里的 `k_0=n/(a^2/m-m)=mn/(a^2-m^2)`，所以结论就是 `k_1+k_2=2k_0`。

kuing

另外，如无意外，这结论也和调和分割有关，于是顺便再贴一个链接：forum.php?mod=viewthread&tid=5937，里面的东西应该也有用得上的。

lemondian

回复 4# kuing
谢谢kuing。
我直接设直线方程来算，运算量大，不知有没有其它做法？

lemondian

另外：
已知椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$及$A(m,0)$（其中$|m|\ne a$），直线$l$过点A且与椭圆交于不同的两点$P,Q$，是否存在点$B$,当直线$PB,QB,AB$的斜率分别为$k_1,k_2,k_0$，使得$k_1+k_2=\lambda k_0$？或者三斜率有其它关系（如$k_1k_2=\lambda k_0$）等等？

力工

交比与斜率差比相关，但没这么简洁的表示，我联不上气啊。

kuing

回复 8# 力工

过 `B` 作 `x` 轴的垂线，各交点如图所示。

由 `A`, `B` 的横坐标可知，`A` 的极线就是刚作的这条垂线，所以 `P`, `A`, `Q`, `R` 调和，从而 `S`, `A`, `T`, `U` 也调和，根据调和点列的性质有 `1/US+1/UT=2/UA`，两边乘 `BU` 就是 `k_1+k_2=2k_0`。

就这么简单