【求极限】函数最大值阶的估计

icesheep

来自贴吧，不错的题。
\[{f_n}\left( x \right) = \frac{1}{n}\left( {\sin x + \sin 2x + ... + \sin nx} \right)\]
求\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \mathop {\sup }\limits_{x \in \mathbb{R}} {f_n}\left( x \right)\]

其妙

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？

icesheep

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？
其妙 发表于 2013-11-4 23:00

哪里看不懂么，其实就是记 ${f_n}\left( x \right)$ 最大值为 ${M_n}$，然后求$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {{M_n}}$

战巡

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这玩意求得出来么？
我最后变成要求$\frac{1-\cos(k)}{k}$的最大值，然后算不出精确值了
只能算出近似值，最后结果大概为$0.7246$
用MMC画了一下原图，当$n$足够大时（比如$n=10^9$)，最值的确在$0.7$左右

icesheep

回复 4# 战巡


    对，答案就是这样表示的。能写一下么，贴吧里给的过程太简陋。

战巡

回复 5# icesheep


其实没啥...
只是偷偷换了个元而已.......

显然
\[f_n(x)=\frac{\sin(\frac{nx}{2})\sin(\frac{(n+1)x}{2})}{n\sin(\frac{x}{2})}\]
令
\[k=\frac{x}{n}\]
得到
\[f_n(k)=\frac{\sin(\frac{k}{2})\sin(\frac{(n+1)k}{2n})}{n\sin(\frac{k}{2n})}\]
取极限得到
\[\lim_{n\to\infty}f_n(k)=\lim_{n\to\infty}\frac{\sin(\frac{k}{2})\sin(\frac{(n+1)k}{2n})}{n\sin(\frac{k}{2n})}=\frac{1-\cos(k)}{k}\]
然后再求这玩意的最值就可以了...

icesheep

回复 6# 战巡
那是不是还要说明这件事：\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\sup {f_n}\left( k \right)} \right) = \sup \left( {\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {f_n}\left( k \right)} \right)\]

icesheep

好像可以这样？
\[\sup {g_n}\left( y \right) \geqslant {g_n}\left( y \right),\forall n\]
\[\mathop {\underline {\lim } }\limits_{n \to \infty } \sup {g_n}\left( y \right) \geqslant g\left( y \right),\forall y\]
\[\mathop {\underline {\lim } }\limits_{n \to \infty } \sup {g_n}\left( y \right) \geqslant \sup g\left( y \right)\]
记 $g\left( y \right)$ 唯一的最大值点为 ${{y^ * }}$，则有 ${y_n} \to {y^ * }$ ，其中 ${g_n}\left( {{y_n}} \right) = \sup {g_n}\left( y \right)$ 否则存在 ${y_{{n_k}}} \to \hat y$ 使得\[\mathop {\lim }\limits_{{n_k} \to \infty } {g_{{n_k}}}\left( {{y_{{n_k}}}} \right) = g\left( {\hat y} \right) < g\left( {{y^ * }} \right)\]与之前的不等式矛盾，所以\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sup {g_n}\left( y \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {g_n}\left( {{y_n}} \right) = g\left( {{y^ * }} \right) = \sup \frac{{1 - \cos y}}{y} \approx 0.72\]