求三角函数的最大值

lemondian

求三角函数的最大值：
求函数$f(x)=2\sqrt{5}\sin x+3\sin2x+6\cos x$的最大值。

lemondian

这题有人解答下么？

kuing

类似于你之前这帖 forum.php?mod=viewthread&tid=6498，所以同样可以写出装逼解法如下：
\[f(x)=\frac{14}3\sqrt5-\frac{3\sqrt5+3}2\left( \sin x-\cos x-\frac{2-\sqrt5}3 \right)^2-\frac{3\sqrt5-3}2\left( \sin x+\cos x-\frac{2+\sqrt5}3 \right)^2\leqslant\frac{14}3\sqrt5,\]当 `x=\arcsin(2/3)` 时取等。

kuing

回复 3# kuing

还可以进一步写成更装逼的
\[f(x)=\frac{14}3\sqrt5-12\sin^2\frac{x-\arcsin\frac23}2\left( \sqrt5+\sin\left( x+\arcsin\frac23 \right) \right).\]

hbghlyj

把这里的第二题誊下来：$f(x)=\sqrt3\sin2x+2\sin x+4\sqrt3\cos x$的最大值为

kuing

回复 5# hbghlyj

这个数据更简单，30度取等，有
\[\sqrt3\sin2x+2\sin x+4\sqrt3\cos x=\frac{17}2-4\sin^2\frac{6x-\pi}{12}\left( 5+\sqrt3\sin\left( x+\frac\pi6 \right) \right).\]

hbghlyj

回复 6# kuing
第五届"学数学"秋季赛第一题

hbghlyj

回复 7# hbghlyj
第3题誊下来：
$x,y\in\mathbf R,$则$|2x-y|+4|\frac x2+\frac2y|(y\ne 0)$的最小值是
由三角不等式,原式\[\left| {(2x - y) - 4\left( {\frac{x}{2} + \frac{2}{y}} \right)} \right| = \left| {y + \frac{8}{y}} \right| \ge 4\sqrt 2 \]
当且仅当$-2\le x\le 2,y=\pm\sqrt2$时取等.

力工

回复 8# hbghlyj
不是三角不等式吗？
原式$\geqslant|(2x-y)-4(\frac{x}{2}+\frac{2}{y})|$