两道三角求最值题

lemondian

两道三角求最值题
1.求函数$f(x)=5cos2x+18sinx+8cosx$的最大值。
2.在$△ABC$中，求$P=sinA+sinB+\sqrt{6}sinC $的最大值。

青青子衿

第二题，「嵌入不等式」伺候！

kuing

第二题，「嵌入不等式」伺候！
青青子衿 发表于 2019-8-16 13:59

有两个系数相同，和差化积就成，何必使用牛刀？

kuing

第二题：O(∩_∩)O哈！搜索了一下发现，楼主在去年的同一天（太巧了吧）就问过同类的题：
kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=5538

kuing

1、记 `t=\cos x`，待定正数 `u`，有
\begin{align*}
f(x)&\leqslant5(2t^2-1)+18\sqrt{1-t^2}+8t\\
&\leqslant5(2t^2-1)+\frac9u(u^2+1-t^2)+8t\\
&=\left( 10-\frac9u \right)t^2+8t+9u+\frac9u-5,
\end{align*}于是应令
\[\led
t&=-\frac4{10-\frac9u},\\
u^2&=1-t^2,
\endled\]可以预见，如果直接代入消元必将出现四次方程，也就是说，这道题如果系数随便写，就会没法做，故此原题的数据必然经过设计（其实有经验的一看就猜到那些数字不是随便给的），亦即此方程组必然有简单解，所以此处更适宜去目测，由 `t^2+u^2=1` 可尝试勾股数，一试即知简单解是 `t=4/5`, `u=3/5`。

心中有数后，扔掉待定的过程，重写装逼过程如下：
\[f(x)=\frac{93}5-\frac35(5\sin x-3)^2-\frac15(5\cos x-4)^2\leqslant\frac{93}5,\]当 `x=\arctan(3/4)` 时取等。

kuing

回复 5# kuing

续：反之也可以看出，命制此类题其实也很容易，比如我另取一组勾股数 5, 12, 13，再随便搭配个简单的系数，就构造出另一题：求 `13\cos2x+40\sin x+48\cos x` 的最大值。

带根号也行，比如：求 `\cos2x+4\sin x+2\sqrt3\cos x` 的最大值。（你应该能猜出我用了啥数来构造吧？

lemondian

回复 4# kuing
呵呵，神呀！我不记得这个了

lemondian

回复 3# kuing
第2题的答案是多少呢？

kuing

回复 8# lemondian

方法看那链接，计算请自行完成。

lemondian

回复 2# 青青子衿

嵌入不等式如何搞？写一发吧

lemondian

回复 9# kuing
我算得是$\dfrac{5\sqrt{10}}{4}$,不知是否对？没啥信心

lemondian

看看这个做法，对不对？
解答\[
\begin{aligned}
P & =\sin A+\sin B+\sqrt{6} \sin C \\
& =2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}+2 \sqrt{6} \sin \frac{C}{2} \cos \frac{C}{2} \\
& =2 \cos \frac{C}{2} \cos \frac{A-B}{2}+2 \sqrt{6} \sin \frac{C}{2} \cos \frac{C}{2} \\
& =2 \cos \frac{C}{2}\left(\cos \frac{A-B}{2}+\sqrt{6} \sin \frac{C}{2}\right)
\end{aligned}
\]
因为 $0<\cos \frac{A-B}{2}<1$ ，所以 $P \leq 2 \cos \frac{C}{2}\left(1+\sqrt{6} \sin \frac{C}{2}\right)$ ，当且仅当 $A=B$ ，等号成立。
设 $\cos \frac{C}{2}=t \in(0,1) \quad, \quad y=2 \cos \frac{C}{2}\left(1+\sqrt{6} \sin \frac{C}{2}\right)=2 t\left(1+\sqrt{6} \times \sqrt{1-t^2}\right) \quad$ ，则 $y^{\prime}=2+\frac{2 \sqrt{6}\left(1-2 t^2\right)}{\sqrt{1-t^2}}$ ，令 $y^{\prime}=0$ ，解得 $t^2=\frac{1}{3}$ 或 $t^2=\frac{5}{8}$ ，即 $t_1=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 或 $t_2=\frac{\sqrt{10}}{4}$ 。

当 $t_1=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 时，$y_1=2 \sqrt{3}$ ；当 $t_2=\frac{\sqrt{10}}{4}$ 时，$y_2=\frac{5 \sqrt{10}}{4}$ ，且 $y_1<y_2$ 。
所以 $P$ 的最大值为 $\frac{5 \sqrt{10}}{4}$ ，当且仅当 $A=B$ ，且 $\cos \frac{C}{2}=\frac{\sqrt{6}}{4}$ 时，等号成立。

其妙

第一题，还可以做代换x到x-pi/4（左右平移不改变值域），转化为kuing早就研究非常透的一道题了

山川浮云

回复 6# kuing

下面的题和他同源，但用不来你那方法，求指导
求函数$f(x)=2\sin x+\cos x+\sin x\cos x+1的最大和最小值.$
有解决此类问题的专题吗？分享一下

kuing

回复 14# 山川浮云

最小值简单：`f(x)=(1+\sin x)(2+\cos x)-1\ge-1`；
然而最大值却没简单解，扔掉吧……

山川浮云

回复 15# kuing

就说嘛，万能公式后求导成了根不可手算的题，估计是给人挖坑而多加一问。不过没结果也算是一种结果