切线、渐近线交点,求证共圆

hbghlyj

A,B是双曲线的交点,作双曲线的一条切线交两条渐近线于D,E,求证ABDE共圆

kuing

如上图，`A`, `B` 处的切线交于 `P`，则熟知 `\angle PF_1A=\angle PF_1B` 且 `\angle PF_2A=\angle PF_2B`。

特别地，当 `P` 位于双曲线的渐近线上时，至少有一个切点为无穷远点。

如上图，`F_1A_1` 和 `F_2A_2` 平行于 `P` 所在的渐近线，此时有 `\angle PF_1B=\angle PF_1A_1=\angle F_1PO` 且 `\angle PF_2B=\angle PF_2A_2=\angle F_2PO`，相加得 `\angle PF_1B+\angle PF_2B=\angle F_1PF_2`。


回到原题，如上图，由上述结论，有
\begin{align*}
\angle PF_1B+\angle PF_2B&=\angle F_1PF_2,\\
\angle QF_1B+\angle QF_2B&=\angle F_1QF_2,
\end{align*}相加得
\[\angle PF_1Q+\angle PF_2Q=\angle F_1PF_2+\angle F_1QF_2,\]而这四个角之和为 `360` 度，所以两边都为 `180` 度，即共圆。

kuing

回复 2# kuing

改了一下写法，图3可以少画些线……

lemondian

isee

回复 4# lemondian


    请补充一下结论1的过程。

hbghlyj

回复 5# isee
这是由两个结论导出的
(1)AP=PB
(2)以OA,OB建立仿射坐标系,则P的横纵坐标乘积为定值(反比例函数)

kuing

回复 5# isee

才想起之前在 forum.php?mod=viewthread&tid=5924 里讨论过……

所以有时没想起来也是件好事，要是马上想起这个链接丢上来，可能就不会想到上面 2# 的证法……

isee

回复 6# hbghlyj

(1)这是熟知的。
(2)相当于反比例函数？

isee

回复 7# kuing

你家ID近亲huing也是失踪人口了

kuing

回复 9# isee

只好自我安慰地猜是因为这里越来越难访问了……

kuing

回复 10# kuing

讲真，最近其妙和何版都跟我说访问不了这里，我相信应该还有一些“失踪人口”是因为这样的原因的，只是他们没联系我或者联系不到，又或者就以为论坛已经没掉了……

无可奈何，唉……

isee

这个算不算类似，先有圆