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Last edited by hbghlyj at 2020-9-17 20:50:00当 c不是0,-1,-2...时，对于|z|<1，超几何函数可用如下幂级数定义\[\, _2F_1(a,b;c;z)=\sum _{k=0}^{\infty } \frac{a_k b_k z^k}{k! c_k}.\]
当a或b是0或负整数时级数只有有限项，例如：
$\, _2F_1(-3,3;2;x)=\frac{1}{2} (2-5 x) (1-x)^2$
此时若还有b=c,则级数是一个多项式.例如：
$\, _2F_1(1,-2;-2;x)=\, _2F_1(1,-2;-2;x)$
对于特定的参数，超几何函数可用初等函数表示，例如：
$\ln(1+z)=z\, _2F_1(1,1;2;-z)$
$(1-z)^{-a}=\, _2F_1(a,1;1;z)$
$\arcsin z=z\, _2F_1(\frac12,\frac12;\frac32;z^2)$
$\, _2F_1(2,3;4;x)=3 \left(\frac{1}{1-x}-\frac{-x^2-2 x-2 \log (1-x)}{x^3}\right)$
$\, _2F_1\left(\frac{3}{2},2;3;x\right)=-\frac{4 \left(x+2 \sqrt{1-x}-2\right)}{\sqrt{1-x} x^2}$
$\, _2F_1(n,m;m+n+2;1)=\dfrac{\Gamma (m+n+2)}{\Gamma (m+2) \Gamma (n+2)}$
现在来求第一象限中,曲线$x^{\frac1k}+y^{\frac1k}=1$与坐标轴围成的面积
$S=\int _0^1\left(1-x^{1/k}\right)^k \, dx=\left[x\, _2F_1\left(-k,k;k+1;x^{1/k}\right)\right]_0^1=\frac{\sqrt{\pi } 2^{-2 k} \Gamma (k+1)}{\Gamma \left(k+\frac{1}{2}\right)}$
当$k=n,n\in\mathbf{Z}$时,$S={\binom{2n}n}^{-1}$
当$k=n+\frac12,n\in\mathbf{Z}$时,$S=\dfrac{ (2 n+1)!!\pi }{ n!2^{3 n+2}}$
代入数字检验一下,$k=n+\frac12$,n=0时曲线是圆,$S=\frac\pi4$,n=1时曲线是星形线,$S=\frac3{32}\pi$ |
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