来自网友的向量 |a|=4,|b|=2|c|,(a-c)(b-c)=3 求 |a-b| 最小

kuing

Joseph 2020/10/18 11:21:33

这个问题有简单方法吗？

搞了半天才弄出个装逼解法如下：

因为
\[(\bm a-\bm b)^2=\frac23(\bm a^2+\bm b^2-4\bm c^2)-\frac83(\bm a-\bm c)\cdot(\bm b-\bm c)+\frac13(\bm a+\bm b-4\bm c)^2,\] 代入条件化简得
\[(\bm a-\bm b)^2=\frac83+\frac13(\bm a+\bm b-4\bm c)^2\geqslant\frac83,\]时间关系取等暂略……

kuing

差点又忘了补充取等：
\[\bm a=(4,0),\,\bm b=\left( \frac72,\frac12\sqrt{\frac{29}3} \right),\,\bm c=\left( \frac{15}8,\frac18\sqrt{\frac{29}3} \right).\]

走走看看

$a^2-2ab+b^2=(a-c)^2+(b-c)^2-2(a-c)(b-c)$

$现在只要使（a-c）^2+(b-c)^2最大就可以了。$

做得到吗？

isee

搞了半天才弄出个装逼解法如下：

因为
\[(\bm a-\bm b)^2=\frac23(\bm a^2+\bm b^2-4\bm c^2)-\fra ...
kuing 发表于 2020-10-19 03:10

这个还真难算（我算不下去），如果引用三角的话。。

不过，取$\bm a=(4,0),\bm b=(2,0),\bm c=(1,0)$满足条件，此时$\bm a-\bm b=(2,0)$，这个模不是更小？或者说这特殊值哪里出问题了？

色k

回复 4# isee

我算的是平方……

isee

回复 5# 色k


原来如此！

走走看看

回复 4# isee

$2比\sqrt{\frac{8}{3}}大一点。$

hejoseph

这个题目我没见到有简单的方法，作为填空题，要么是出题人自己用的方法有错误，也或者确实我们还没找到简单的方法。

其妙

我喜欢这个装逼界法

敬畏数学

此题是否有简单的填空题做法？？？同问？？？

12673zf

在”数海漫游“公众号看到的解析

敬畏数学

回复 11# 12673zf

其妙

怎么回事啊？答案不一样？

kuing

回复 13# 其妙

一样啊，我算的是 |a-b|^2，开根就一样了。
至于推理上有没有问题，我还没精神看……

其妙

只看最后的数据

isee

怎么回事啊？答案不一样？
其妙 发表于 2021-3-11 20:12

哈哈，你和我当时一样~