超越方程根的判断与构造问题

Czhang271828

设函数$f(x)=\pi^{x-1}+\pi^x-e^{x+1}\quad x>0$，求证：
1. $f(x)$在$\mathbb R_+$上仅有一零点$x_0$
2. $x_0>5$

答案是显然的。题主的问题是：
1. 如何手算第二问（需避免较大计算量与生僻的引理）
2. 如何出一道类似的题目，即如何用极少与极简单的数学符号表示极其接近$0$的结果？
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注：$(x_0-5)\sim 10^{-7}$

Czhang271828

设函数$f(x)=\pi^{x-1}+\pi^x-e^{x+1}\quad x>0$，求证：
1. $f(x)$在$\mathbb R_+$上仅有一零点$x_0$
2. $ ...
Czhang271828 发表于 2021-2-27 21:27

类似的还有$\dfrac{e^9}{\pi^8}$。
似乎应当存在构造这类结果的神奇算法？

Czhang271828

追更：若$\mathbb Q(\sqrt{-d})$，$d>0$为主理想环，则$e^{\pi\sqrt{d}}$将极其接近一个整数。例如：

\begin{aligned}
e^{{\pi {\sqrt  {19}}}}&\approx 96^{3}+744-0.22\\
e^{{\pi {\sqrt  {43}}}}&\approx 960^{3}+744-0.000\,22\\
e^{{\pi {\sqrt  {67}}}}&\approx 5\,280^{3}+744-0.000\,001\,3\\
e^{{\pi {\sqrt  {163}}}}&\approx 640\,320^{3}+744-0.000\,000\,000\,000\,75
\end{aligned}
其中，$e^{\pi\sqrt{163}}$整数逼近相对误差（$1-\dfrac{x}{\lceil x\rceil}$）精度细达$2.8567\times10^{-31}$！
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可惜的是，满足条件的$d$（称作Heeger's number）是有限的，仅$1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163$。对于较小的$d$，可以显然证明对应环有欧几里得性，因此是PID。对较大的$d$，证明比较繁琐。

整数逼近那块一般通过modular form解释，还需使用$j$-function等高级的工具。总之结果是误差项和$e^{-\pi\sqrt{d}}$处于同一量级。
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一个自然的应用是计算$\pi$，见拉马努金-佐藤公式（Sato十有八九是叫佐藤吧）。

再者，对上述$d$，若$p=\dfrac{d+1}{4}\in\mathbb Z$，则任取$n=0,1,\ldots,p-1$，总有$n^2-n+p$为质数。
e.g. $n^2-n+41$在$n=0,1,\ldots,40$时均为质数。
证明也不是特别难，outline大致如下：
1. 记$\omega=\dfrac{1+i\sqrt{d}}{2}$。当$a,b\in\mathbb Q$时，证明$|a+b\omega|=a^2+ab+pb^2$；
2. 对任意质数$p$，证明$p$在$\mathbb Z(\omega)$上不可约；
3. 证明$|p|$可表示为$|a'+\omega b'|$的形式；
4. 证明原命题。