素数 $\lim_{n \to +\infty}\frac {p_n}{\sqrt[n]{p_1p_2 \cdots p_n}}=?$

isee

在 知乎@Reinhardtt 看到一个关于素数与自然对数底的命题：




记 $p_n$ 是第 $n$ 个素数，则$$\lim_{n \to +\infty}\frac {p_n}{\sqrt[n]{p_1p_2 \cdots p_n}}=\mathrm e.$$





计算器算了，直到53，n=9 这个值最佳，摆动的

abababa

有一步不知道怎么化过去。先取倒数，设
\[A=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{\prod_{k=1}^{n}p_k}{p_n^n}\right)^{\frac{1}{n}}\]
则$1/A$就是所要求的。两边取对数得
\[\ln A=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\ln\frac{p_k}{p_n}\]
然后就像积分那样，如果$\ln$里面那个是$\frac{k}{n}$，就能用积分了，就是
\[\ln A=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\ln\frac{k}{n}=\int_{0}^{1}\ln xdx=[x\ln x-x]_{0}^{1}=-1\]
这样$A=1/e$，所求的就是$1/A=e$了。就是这两个和的极限会不会相等。

abababa

回复 2# abababa

搜索到一个网址：
mathoverflow.net/questions/311085/riemann-sum … -using-prime-numbers
证明了这两个极限确实相等，但我看不懂过程，里面是有素数分布的那个函数吧，然后积分可能也不是平时说的这种细分求和意义的积分？有懂的能不能详细讲一下啊。

isee

回复 2# abababa

这是我从“转载”转的证明，我只是凑个热闹，（细节不懂）
问题 3.3．记 $p_n$ 为第 $n$ 个素数，证明
\[
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{p_n}{\sqrt[n]{p_1 p_2 \cdots p_n}}=e
\]
证明．
$\diamond$ 引理 $\ln p_n-\frac{p_n}{n} \rightarrow 1$ 当 $n \rightarrow \infty$ ．

---

$\diamond$ 引理 存在常数 $c>0$ 使得对 $x>1$ 有
\[
|\theta(x)-x|<c \cdot \frac{x}{\ln ^2 x}
\]

---

记 $A_n=p_n / \sqrt[n]{p_1 p_2 \cdots p_n}$ ，则
\[
\ln A_n=\ln p_n-\frac{1}{n} \theta\left(p_n\right)=\ln p_n-\frac{p_n}{n}+\frac{1}{n}\left(p_n-\theta\left(p_n\right)\right)
\]
由引理1只需证明
\[
\frac{p_n-\theta\left(p_n\right)}{n} \rightarrow 0
\]
由引理 2 知
\[
\frac{\left|\theta\left(p_n\right)-p_n\right|}{n}<\frac{c \cdot p_n}{n \ln ^2 p_n}
\]
由 PNT 易知
\[
\frac{p_n}{n \ln ^2 p_n} \sim \frac{1}{\ln p_n}
\]
故
\[
\ln A_n \rightarrow 1
\]
即 $A_n \rightarrow e$．

ljh25252

这个是一个名叫《草稿》的文档里面的题，作者也在这个论坛，@Reinhardt

isee

今天又有点时间，找了找网络上的已知素材，发现学习数论的知识都是零散学的，而且好多是中学生时代，那时基本没接触过解析数论.

本来只是觉得这个极限好玩，不曾意识到此极限是依赖素数定理的，素数定理英文 the Prime Number Theorem，（PNT，）内容是

\[x\to \infty,\quad \pi(x)\sim \int_2^x\frac 1{\ln t}\mathrm dt \sim \frac x{\ln x}.\]
其中 $\pi(x)$ 表示区间 $[2,x]$ 内所有素数的数量(个数)，如 $\pi(10)=\pi(10.5)=4$，$\pi(P_n)=n$.
(特别的$\pi(n)$ 表示整数从 1 到 $n$ 所有素数的个数.)   (数学里定义欧拉对数积分：$\mathrm{Li}(x)=\int_2^x\frac {\mathrm dt}{\ln t}.$)









看一个更“简”的极限\[\lim_{n \to +\infty}\sqrt[n]{p_1p_2 \cdots p_n}=\mathrm e.\]





源自知乎的提问的参考解答.






4#中需证的$$\lim_{n\to\infty}{n\ln n\over p_n}=1.$$

一样可以参考源自知乎的另一个提问



都是硬骨头呀

isee

[/img]回复  abababa

这是我从“转载”转的证明，我只是凑个热闹，（细节不懂） ...
isee 发表于 2021-10-14 19:36

此作者的详细版：zhihu.com/question/516296880