[考古]圆锥曲线论

hbghlyj · 发表于 2021-12-14 11:47

本帖最后由 hbghlyj 于 2024-3-25 12:34 编辑 阅读阿波罗尼奥斯的圆锥曲线论不需要很多的前置知识,但是它经常用很长的篇幅导线段比例使人晕头转向. 我收集了一点资料:

Treatise on Conic Sections,它是用较现代的记号编辑和整理了圆锥曲线论,合并了一些重复的题,加入了一些注释,我以此书为主线来翻译圆锥曲线论,省力很多很多.作者为Thomas Heath(托马斯·利特尔·希思爵士),他是 19 世纪后半期的古典学家,为希腊数学史研究做了大量工作.除了圆锥曲线论以外,其译著还包括:几何原本,阿基米德全集,丢番图的算术等等.
一位老师Whistler Alley制作的几何画板文件,极大方便了我的配图和对于文本的理解.此页还有圆锥曲线论各卷的提要.他的网站上还有很多几何画板作品,值得学习.
圆锥曲线论(卷Ⅰ-Ⅳ)的中文翻译版本,陕西科技出版社,译者: 朱恩宽 / 张毓新 / 张新民 / 冯汉桥.我的名词的翻译尽量与此书保持一致.

古希腊文输入困难,就不标注了,对于专有名词,我只标注英译文.像"齐曲线"之类的旧称就不使用了,直接译为"抛物线".两个词"圆锥截线"和"圆锥曲线"是同义的,经常混用."AB延长线"指的是射线AB的在线段AB外的部分."A是B的C"这种表述使人隐约感觉"B的C"是唯一的(而"B的C是A"这种表述更是加强了这种隐含义),所以,如果"B的C"是不唯一的话,最好写成"A是B的一个C".另外"纵线参量"记为p与当代把"焦准距"记为p的习惯不同,我都标注了.本文定义的"直径"是一条直线(这是为了定义的一般性,因为"直径"可能和圆锥曲线没有交点),但是如果说"直径的中点"或"直径之长",我其实指的是直径的"横截边的中点"或"横截边的长度",横截边的定义在下文有,它其实就是直径与圆锥曲线的两个交点连成的线段,就如"圆的直径"一样.
我这里和Heath的书的顺序是一样的,应该可以很快地定位,所以Heath的书上的命题对应的编号我就不标注了.
Heath的书是把原著中的命题分类编辑,顺序会有所调整,所以我这里标注了原著的命题编号,“[Ⅰ.19]”表示原著第一卷的命题19.

从一个固定点(apex/vertex,顶点)连接到不包含它的某个固定空间曲线(directrix,准线)上的所有点的直线之并集称为锥面(conical surface).这些线中的每一条都称为锥面的母线(generatrix).
锥面称为圆锥面,如果准线是一个圆周(底,base).连接顶点和底的圆心的直线,称为它的轴(axis).介于底和顶点之间的立体称为圆锥(cone).
若轴与底正交,则称为直圆锥(right cone,正圆锥);斜交,则称为斜圆锥(oblique cone).
把通过轴的圆锥体的截面称为轴截面,截得的三角形称为轴三角形.轴三角形的在锥面上的两条边称为腰.
注意,锥面的"准线"与圆锥曲线的"准线"无关.
设斜圆锥的底的圆心为O,顶点为P,经过轴OP可以作一个平面与底垂直,与底交于直径AB.直径CD与AB垂直.PCD是唯一的满足"以P为端点的两条边相等"的轴三角形.斜圆锥有两个对称平面,一个就是平面OPAB(后文统一用固定短语"垂直于底的轴截面"指代它),另一个经过∠APB的平分线m(在图中未画出).这两个平面正交于m,因为关于两个正交的面对称的乘积是一个线对称,所以m是斜圆锥面的对称轴(当然,不是斜圆锥的对称轴),绕m的旋转角必须是180°的倍数才能保持斜圆锥面不变.
正圆锥的情况比斜圆锥简单多了:通过轴的所有平面都是正圆锥的对称平面.正圆锥关于它的轴旋转任意的角都是不变的.

从顶点沿着轴看,斜圆锥是一个”正椭圆锥”,因为斜圆锥被垂直于轴的任何平面截得一个椭圆.正圆锥被垂直于轴的任何平面截得一个圆.

我们刚才提到,斜圆锥面有一个对称轴m,那么,将斜圆锥的底c绕m转180°,得到的圆c'仍然在锥面上,由相似形推出,斜圆锥被任意与c或c'平行的平面截得的曲线都是圆,反之,斜圆锥就仅有这两组平行截面是正圆形.现在把视图切换到轴截面上来,我们看到,与c平行的平面截出一个与轴三角形位似的三角形,与c'平行的平面截出一个与轴三角形反向相似(subcontrariwise)的三角形,所以将与c'平行的平面称为反位面(subcontrary).
对于正圆锥,两族平面重合,即所有与底面平行的平面.
从锥面的生成可知,如果准线是一条光滑曲线,除了顶点外的任意点处存在切平面,这个平面包含通过这点的母线并且与准线相切,于是,一条母线与准线的一条切线就决定了这点的切平面.
现在我们来证明2的断言:如果一个斜圆锥被垂直于底的轴截面所截,它也被另一平面所截,该平面一方面与轴三角形交成直角,另一方面在顶点一侧截出一个与轴三角形反向相似的三角形,则这截线是一个圆.[Ⅰ.5]反过来,如果一个平面截圆锥得一个圆,则它要么与底平行,要么是反位面.[Ⅰ.9]
如果一个圆锥被一个与轴三角形的两腰都相交的平面所截,截线称为椭圆,所以圆是一类特殊的椭圆.

在截线及圆周上分别取点H,L,向轴三角形作垂线,垂足为F,M,则FH∥LM.过F作DEF平行于BC.由于FH也平行于LM,所以过FH和DE的平面平行于圆锥的底,所以它是一个以DE为直径的圆.所以DF·FE=FH².又因为△DFG~△KFE,从而EF:FK=GF:FD,所以EF·FD=KF·FG.所以KF·FG=FH².因而对截线上的任何点H,都有∠GHK=90°,所以截线是以GK为直径的圆.
反过来,若截线GK是圆,取其上一点H,作HF⊥GK,作DE∥BC,则截线DE也是圆,所以GF·FK=FH²=DF·FE,所以△DFG~△KFE,所以GHK是反位面.
后半部分[Ⅰ.9]中,原著用的是反证法,我觉得不是很有必要...
如果一个圆锥被一过其轴的平面(这次是任意平面,不是必须为对称平面)所截,在底面上作轴三角形的底边的垂线(这条线未画出,不是EF),在圆锥面上取不在轴三角形边上的一点B作这条垂线的平行线,则这条平行线被圆锥截得的线段BC被轴三角形所平分.[Ⅰ.6]
证明：设圆锥顶点为A,设AB与底交于E,设EF∥BC,则EF与轴三角形的底边垂直,设BC,EF与轴截面分别交于D,G,由圆的对称性知G为EF中点,因为D,G都在轴截面内,也都在平面ABC(过直线AB且与轴截面垂直的平面)内,所以ADG共线.又G为EF中点,所以D为BC中点.
如果一个圆锥被一过其轴的平面ABC所截,底上有直线DE垂直于轴三角形的底BC,垂足为G.点F在AB上.圆锥被经过DE和FG的平面所截,从截线上一点H作DE的平行线再交圆锥于K,则FG平分HK,且HK⊥FG当且仅当轴三角形垂直于底.[Ⅰ.7]
证明：由5知FG平分HK.
对于直圆锥,任意轴三角形ABC都垂直于底.又在底上的直线DE垂直于它们的交线BC,所以DE垂直于平面ABC.于是DE⊥FG.又HK∥DE,∴HK⊥FG.
对于斜圆锥,ABC是垂直于底的轴截面,同上可得出DE⊥FG.反过来,若DE⊥FG,则它垂直于过BC和FG的平面ABC,所以ABC垂直于底.

如果一条直线平分圆锥曲线的一族平行弦,则称为圆锥曲线的直径.
过圆锥曲线上任一点可作唯一一条直径.(若要过F作直径的话,设圆锥曲线所在平面与底面交于直线DE,作过F的轴截面交DE于G,则FG为直径)
一个圆锥截面与底的交线为DE,它们垂直于轴三角形ABC,如果直径PM或者平行于轴三角形的一边AC,或者与CA延长线相交,那么,随着圆锥面和截面都无限地延长,这截线也将无限地延长,而且从截线上所作的DE的平行线被圆锥截得的线段趋于∞.[Ⅰ.8.]
证明：在PM上取点V,作NK∥BC,QQ'∥DE.则截线NQKQ'是圆.因为D,E,Q,Q'都在圆锥面上,所以截线DPE经过Q,Q',当点V远离P时NV趋于∞,而VK在PM∥AC的情况下不变,在PM与CA延长线相交的情况下趋于∞,所以NV·VK=QV²趋于∞,所以QV趋于∞.

现在我们知道,如果一个圆锥被一平面所截,轴三角形ABC垂直于该平面与圆锥底的交线DE,截线的直径PM或者平行于轴三角形的一边AC,或者与CA延长线相交,这两种截线是无限延伸的,且开口趋于∞,所以不是圆,也不是椭圆,分别称为抛物线和双曲线(的一支).抛物线是双曲线的极限情况,也是椭圆的极限情况.
至此我们能够列出圆锥曲线的所有可能性,我们可以用逐次二分的办法来理解这一点:
(Ⅰ)截面通过顶点,分三种情况
(A)点
(B)一条直线
(C)两条相交线
(Ⅱ)截面不通过顶点,分两种情况
(C)截面平行于底,或者是反位面⇒圆
(D)截面不平行于底也不为反位面,分两种情况
   (a)截面平行于轴三角形的一腰⇒抛物线
   (b)截面不平行于轴三角形的任一腰,分两种情况
      (i)椭圆
      (ii)双曲线
设截面交底圆于直线DE,轴三角形ABC的边BC与DE正交于M.PM是截线的一条直径,Q是截线上一点,过Q作DE平行线交轴截面于V,QV称为纵标线(ordinate),PV称为横标线(abscissa).(这是笛卡尔坐标的原型)
(1) 抛物线的直径PM平行于轴三角形的边AC,QV是直径PM的纵标线,PL的长度由PL:PA=BC²:BA·AC给出,则QV²=PL·PV.[Ⅰ.11]
(2) 双曲线的直径PM交CA延长线于P',作AF∥PM交BC于F.PL的长度由PL:PP'=BF·FC:AF²给出.作VR∥PL交P'L延长线于R,则QV²=PV·VR.[Ⅰ.12]
(3) 椭圆的直径PM交AC于P',作AF∥PM交BC延长线于F.PL的长度由PL:PP'=BF·FC:AF²给出.作VR∥PL交P'L于R,则QV²=PV·VR.[Ⅰ.13]
证明
(1) 因为V,M在截面PDE内,也在轴截面ABC内,所以PVM共线,又VMCK为平行四边形,所以VK=MC=$BC·PA\over AB$ ①
$HV=BM·{PV\over PM}={BM\over PM}·PV={BC\over AC}·PV$ ②
因为截线HQK是圆,所以QV²=VK·HV,代入①②得QV²=$PA·BC^2\over BA·AC$·PV=PL·PV.
(2) HV:PV=BF:AF,VK:P'V=FC:AF.
∴HV·VK:PV·P'V=BF·FC:AF².
∴QV²:PV·P'V=PL:PP'=VR:P'V=PV·VR:PV·P'V.
∴QV²=PV·VR.
(3) 同(2).

上面的定理相当于把圆锥曲线”重定义”为平面上的轨迹,后面的命题都是以此为基础的.
PL称为竖直边(upright side),PP'称为横截边(transverse,transverse diameter,transverse side).抛物线,双曲线,椭圆的区别仅仅在于RV等于,大于,小于PL,所以原著将它们命名为齐曲线,超曲线(它只是现称的双曲线的一支),亏曲线.
为了彻底摆脱圆锥,而把全部定义建立在平面上,只需注意到PL可以取任意长度,也就是一个常量,为了作图方便,可以作在截面内.古希腊时没有符号代数,线段的乘积必须显式地用面积表示,原著中的陈述是：以竖直边、纵标线为长和宽的矩形的面积,等于以纵标线为边的正方形的面积,在原著中,之所以要作一线段PL"垂直于"截面,是为了构造矩形.
PL又称latus rectum(通径,正焦弦长),又称parameter of the ordinates(纵线参量),后文常记为p.
注意,与这里不同的,在解析几何中常将焦准距记为p,焦准距为焦点到对应准线的距离,圆锥曲线的统一极坐标方程$ρ=\frac{ep}{1-e\cosθ}$中的p就是焦准距.抛物线的方程写成$x^2=2py$,对于椭圆和双曲线有$p={b^2\over c}$,其中$2b$是短轴,$2c$是焦距.
另外,也有人将焦参数(focal parameter)记为p,它是正焦弦长的一半,它等于焦准距与离心率e的乘积,对于椭圆和双曲线有$p={b^2\over a}$,其中$2a$是长轴.
因此,对于抛物线,焦参数和焦准距相等,而"正焦弦长"是它们的2倍;对于椭圆和双曲线,"正焦弦长"可以写成$p={2b^2\over a}$,下面会验证这与上文的"纵线参量"定义是一致的.

记QV=y,PV=x,PL=p,PP'=d,我们得到抛物线,椭圆,双曲线在以直径和直径的端点处的切线为轴的仿射坐标系下的方程分别为
y²=px
y²=px∓$p\over d$x²,即$(x∓d/2)^2\over(d/2)^2$±$y^2\over pd/4$=1 (椭圆、双曲线时分别取上、下的符号,这是"±,∓"号的惯例,后面将会沿用,比如17)
$2·{b^2\over a}=2·{pd/4\over d/2}=p$,所以上文关于"正焦弦长"与"纵线参量"的定义是一致的.
推论(1)抛物线一条直径的两个纵标线之比等于相应的横标线之比的平方.[Ⅰ.20.]
任何圆锥上截下来的任何抛物线是相似的
证明：若${PV\over P'V'}={PL\over P'L'}=k$,则${QV\over Q'V'}=\sqrt{{PV\over P'V'}·{PL\over P'L'}}=\sqrt{k^2}=k$.

(2)对椭圆或双曲线,QV²:PV·P'V=PL:PP',也就说,固定直径PP',QV²∝PV·P'V.[Ⅰ.21]
对于椭圆,当V为PP'中点时QV最大,对于抛物线,双曲线来说QV没有最大值,这就重新证明了7的结论.
固定点P,P',在$△QPP'$中,$\tan∠QPP'·\tan∠QP'P$=k(k为常量),则
(i)k>0,Q的轨迹为双曲线,其顶点为P,P'.特别地,k=1,Q的轨迹为等轴双曲线.
(ii)k=0,Q的轨迹为线段PP'.
(iii)k<0,Q的轨迹为椭圆,其顶点为P,P'.特别地,k=-1,Q的轨迹为圆.
(3)椭圆或双曲线的形状由$p\over d$=$BF·FC\over AF^2$决定.下面来求从给定的圆锥截得的所有圆锥曲线的$p\over d$的范围.

由斯特瓦尔特定理,$A B^{2} \cdot \overline{F C}+A C^{2} \cdot \overline{B F}=A F^{2} \cdot B C+\overline{B F} \cdot \overline{F C} \cdot B C$(取BC为正方向),$\frac{p}{d}=\frac{BF \cdot FC}{AF^2}=B C /\left|\frac{AB^2}{\overline{B F}}+\frac{AC^{2}}{\overline{FC}}-BC\right|$,
当F在线段BC上时,由柯西不等式$(a^2+b^2)(c^2+d^2)≥(ac+bd)^2$有$\frac{AB^2}{BF}+\frac{AC^2}{FC}≥\frac{(AB+AC)^2}{BC}>BC$,${p\over d}≤{BC^2\over(AB+AC)^2-BC^2}$;
当F在BC延长线上时,由反向柯西不等式$(a^2-b^2)(c^2-d^2)≤(ac-bd)^2$有$AB^2\over BF$-$AC^2\over FC$≤$(AB-AC)^2\over BC$<BC,$p\over d$≤$BC^2\over BC^2-(AB-AC)^2$.
(AB+AC)²-BC²>BC²-(AB-AC)²⇔AB²+AC²>BC²⇔∠A<90°
∴∠A≤90°时$p\over d$当AF为内角平分线时取得最大值$BC^2\over(AB+AC)^2-BC^2$=$\sin^2\frac A2\over\sin B\sin C$
∠A≥90°时$p\over d$当AF为外角平分线时取得最大值$BC^2\over BC^2-(AB-AC)^2$=$\cos^2\frac A2\over\sin B\sin C$
QV是直径PP'的纵标线,G是PP'上一点,过G作QV平行线交PQ,P'Q于H,I,平面上E是一个定点,过E,H,I作圆,过G作弦EE',则当点Q在椭圆上运动时,E'是定点.

证明：由8有$HG\over GP$·$GI\over GP'$=$QV\over PV$·$QV\over VP'$=定值,EG·GE'=HG·GI=定值,故E'是定点.
两个对顶的圆锥面如果均与一个不过顶点的平面相交,截线是双曲线.双曲线的两支有共同的直径,其竖直边是相等的,而且介于两支曲线之间的线段是两支曲线共同的横截边.[Ⅰ.14]

证明：设BC为底圆的直径,B'C'是对顶圆锥面的底圆的直径,且B'C'∥BC.截面交两个底于DE,D'E',则DE∥D'E'.设BC⊥DE,则B'C'⊥D'E'.过A作MM'平行线交BC,B'C'于F,F',因为截面与CA,B'A延长线相交,所以两个对顶的圆锥面上的截线都是双曲线(的一支).
∵BF:AF=B'F':AF',FC:AF=F'C':AF',∴BF·FC:AF²=B'F'·F'C':AF'²,即PL:PP'=P'L':PP',∴PL=P'L'.

<svg width="100%" height="60"><text font-size="40" id="c02" text-anchor="middle" x="50%" y="40">02 共轭直径</text></svg>
对于椭圆或双曲线,我们任取一条直径,将它的中点定义为这条曲线的中心,下面证明这个定义与直径的选取无关,也就是说,所有直径的中点是同一个点.从而得出,曲线关于这一点对称.
(1)过椭圆中心的弦被中心平分.[Ⅰ.30.]
(2)过双曲线的中心的直线如果与曲线一支相交就会与另一支相交,且被中心平分.[Ⅰ.29.][Ⅰ.30.]
过椭圆或双曲线的弦被中心分得的两条相等的线段称为半径.

证明(1)令PP'为直径,C为中心,弦QQ'通过C.作PP'纵标线QV,Q'V'.则${PC^2-CV^2\over PC^2-CV'^2}={PV·P'V\over P'V'·PV'}={QV²\over Q'V'^2}={CV^2\over CV'^2}\xlongequal{\text{合比}}{PC^2\over PC^2}=1$,∴CV=CV',∴QC=Q'C.
(2)设PP'为直径,C为中心.对于一条经过C的直线,如果它与双曲线的一支交于Q,我们证明它与另一支相交于一点Q'.设QV是PP'的纵标线,在PC延长线上截取CV'=CV,作PP'的纵标线Q'V'.我们证明Q'在CQ上.
∵CV=CV',CP=CP',∴VP=V'P'.由10有PL=P'L',那么,由8有QV²=PV·VP'·PL/PP'=P'V'·V'P·P'L'/PP'=Q'V'²⇒QV=Q'V',又QV∥Q'V',∴△CQV≌△CQ'V',∴QCQ'共线,且QQ'被C平分.
过椭圆的直径的横截边PP'的中点C作两条纵标线DC,D'C,则
(1)DD'平分所有平行于PP'的弦,即直径DD'的纵标线平行于PP'.[Ⅰ.15.]
换言之,如果一条直径平分所有平行于第二条直径的弦,则第二条直径平分所有平行于第一条直径的弦,这两条直径互称为共轭的.
(2)PP'的纵线参量等于DD'²/PP',DD'的纵线参量等于PP'²/DD'.[Ⅰ.15.]
证明(1)QV是PP'的一条纵标线,过Q作QQ'∥PP'交DD'于ν,交曲线于Q',从Q'引PP'的纵标线Q'V'.PL为PP'的纵线参量,作VR,V'R'与PL平行,∵QQ'∥VV',QV∥Q'V',∴QV=Q'V',
由8有QV²=PV·VR,Q'V'²=PV'·V'R',∴PV·VR=PV'·V'R',
(其实由PV·VP'=PV'·V'P'和PV+VP'=PV'+V'P'就立即得出PV=V'P',VP'=PV',不需要下面的比例式推导)
PV:PV'=V'R':VR=P'V':P'V.∴PV:(PV'-PV)=P'V':(P'V-P'V'),
∴PV:VV'=P'V':VV',∴PV=P'V',又CP=CP',相减,CV=CV'∴Qν=νQ',即DD'平分QQ'.
(2)过C作PL平行线交P'L于E,则PP'=2PC,PL=2CE,由8有CD²=PC·CE,即DD²=PP'·PL.

推论：两条共轭直径必有其中一条的横截边≥竖直边,另一条的横截边≤竖直边.
如果一条直径的横截边等于竖直边,则还等于它的共轭直径的横截边和竖直边.
过双曲线的直径的横截边PP'的中点C作纵标线的平行线,则它平分所有平行于PP'的弦,即为该直径的共轭直径.[Ⅰ.16.]
证明：过双曲线的直径PP'的中点C作纵标线CX,过X作QQ'∥PP'交双曲线于Q,Q',下面证明QX=Q'X.
∵QV∥Q'V',QQ'∥VV',∴QV=Q'V'.由10得PL=P'L'.
由8有QV²:PV·RV=PL:PP',Q'V'²:P'V'·R'V'=P'L':PP',
∴PV·RV=PV·R'V',∴PV·$P'V\over PP'$·PL=P'V'·$PV'\over PP'$·P'L',∴PV·P'V=P'V'·PV'
∴CV²-PC²=CV'²-CP'²,∴CV=CV',∴QX=XC.
平行于纵标线,长度等于直径和纵线参量的比例中项且被中心平分的线段称为第二直径.对于椭圆,第二直径为共轭直径被曲线截得的线段;对于双曲线,若直径与曲线交于两点,则它的共轭直径与曲线没有交点(从代数角度看,交点为虚点,它们到C的距离为±i·CD)

<svg width="100%" height="60"><text font-size="40" id="c03" text-anchor="middle" x="50%" y="40">03 切线</text></svg>
过圆锥曲线的直径PM的端点P作纵标线的平行线,则它与曲线的唯一交点为P,且不会有另一直线落在曲线和PM之间,我们称PM与圆锥曲线相切.[Ⅰ.17.][Ⅰ.32.]
证明：对于命题的前半部分,假设这条平行线与圆锥曲线有第二个交点K,因为KP平行于直径PM的纵标线,所以线段KP被PM平分,但是KP与PM交于点P,点P是线段KP的端点,得出一个矛盾.所以P是过P作的纵标线的平行线与曲线的唯一交点.
对于命题的后半部分,设PF平行于纵标线,PK是一条介于PF与曲线之间的直线,我们证明PK与曲线相交.
下面给出这个交点的构造：
对于抛物线,作KV平行于纵标线,交曲线于Q.KV²:PV²>QV²:PV²=PL·PV:PV²=PL:PV,所以可在线段PV上取V'使KV²:PV²=PL:PV',
作V'Q'M∥QV交曲线于Q',交PK于M.则MV'²:PV'²=KV²:PV²=PL:PV'=PL·PV':PV'²=Q'V'²:PV'²,∴MV'=Q'V',M为交点.
对于椭圆,双曲线,假如直线PK落在曲线和PM之间,则K在曲线和PM之间,过K作PM的平行线分别交曲线和PM于Q,V,则QV是一条纵标线.作VR⊥PV,设P'L(必要时延长)交VR于R,则QV²=PV·VR,KV²>PV·VR.在VR延长线上取点S,使KV²=PV·VS.设PS交P'R于R'.作R'V'∥PL交PV于V',过V'作V'Q'M∥QV交曲线于Q',交PK于M.∵KV²=PV·VS,MQ'∥KQ,∴MC'²=PV'·V'R'=Q'V'²,∴MV'=Q'V',M为交点.

推论：一条直线若仅与圆锥曲线交于一点,且直线上的点(除交点外)在曲线的同侧,则其为曲线的切线.
(1)在抛物线的直径VP延长线上取点T,使得TP=PV,QV为纵标线,则TQ为切线.[Ⅰ.33.]
反之,如果Q处的切线与直径的延长线交于T,则TP=PV.[Ⅰ.35.]
(2)V,T关于有心圆锥曲线的直径PP'的调和共轭,QV为纵标线,则TQ与曲线相切.[Ⅰ.34.]
反之,如果Q处的切线与直径的延长线交于T,则V,T关于PP'的调和共轭.[Ⅰ.36.]
事实上,(1)为(2)的极限情况,但古希腊几何学家往往分别给出证明.
通过射影变换将曲线变为圆来证明最简单.
证明(1)只需证明射线TQ上除Q外任意点K在曲线外.过K作纵标线Q'V',则
∵TP≠PV',∴4TP·PV'<TV'²,∴Q'V'2:QV²=4TP·PV':4TP·PV<TV'²:TV²=KV'²:QV²,∴Q'V'<KV'.

(2)只需证明射线TQ上除Q外任意点K在曲线外.过K作纵标线Q'V',过P',P作TQ平行
线交V'Q,VQ于I,O,H,N.设PN交P'Q于M.
∵Q(P,P';T,V)=-1,∴PN=NM,∴PN·NM>PO·OM,P'H:P'I=NM:MO>OP:PN,
∴P'H·PN>P'I·OP,∴P'H·PN:TQ²>P'I·OP:TQ²,
∴P'V·PV:TV²>P'V'·PV':TV'2,∴P'V·PV:P'V'·PV'>TV²:TV'2,
∴QV²:Q'V'²>TV²:TV'2=QV²:KV'²,Q'V'<KV'.
PP'为有心圆锥曲线的直径,QV为纵标线,Q处的切线交PP'于T,DD'为第二直径,则
(1)CV·CT=CP².[Ⅰ.37.]
(2)QV²:CV·VT=竖直边:横截边=CD²:CP².[Ⅰ.39.]
证明(1)由15和调和点列的性质得证.
(2)由15和调和点列的性质得CV·VT=PV·P'V,
由8,QV²:PV·P'V=p:PP',所以QV²:CV·VT=p:PP'
由第二直径的定义,DD'2=p·PP',∴CD²:CP²=DD'2:PP'2=p:PP'

推论：$QV\over VT$=$p\over PP'$·$CV\over QV$.

<svg width="100%" height="60"><text font-size="40" id="c04" text-anchor="middle" x="50%" y="40">04 直径及其端点处的切线</text></svg>注:对角顶为V,K的平行四边形(面积)简记为(VK).
PP'为有心圆锥曲线的一条直径,QV为纵标线,在QV,CP上作等角(不一定相似)的(VK),(PM),使得$QV\over QK$=$p\over PP'$·$CP\over CM$(即$CD^2\over CP^2$·$CP\over CM$),在CV上作与(PM)位似的(VN),则(VN)±(VK)=(PM).[Ⅰ.41.](±按惯例)
证明：由8,QV²:±(CP²-CV²)=CD²:CP²;由已知条件,QV=QK·$CD^2\over CP·CM$,
∴QV·QK·$CD^2\over CP·CM$:±(CP²-CV²)=CD²:CP²,±QV·QK=CP·CM-CP·CM·$CV^2\over CP^2$,
∴±(VK)=(PM)-(VN),(VN)±(VK)=(PM).
(1)抛物线上一点Q处的切线,纵标线交直径于T,V,RW为纵标线,RU∥QT交直径于U,过Q作直径的平行线分别交P处的切线,RW延长线于E,F,则S_RUW=(EW).[Ⅰ.42.]
(2)有心圆锥曲线上一点Q处的切线,纵标线交直径于T,V,RW为纵标线,RU∥QT交直径于U,RW交CQ于F,PE∥RW,则S_CPE-S_CFW=±S_RUW.(±按惯例)[Ⅰ.43.][Ⅰ.44.][Ⅰ.45.]
事实上，(1)为(2)的极限情况,但古希腊几何学家往往分别给出证明.
证明(1)由15,TV=2PV,∴S_QTV=(EV),
∵QV²:RW²=PV:PW,∴S_QTV:S_RUW=(EV):(EW),∴S_RUW=(EW)

(2)由16,QV/VT=p/PP'·CV/QV,∴RW/WU=p/PP'·CP/PE.作平行四边形
RWUL,CPEM,CWFN,它们满足17的条件,所以S_CPE-S_CFW=±S_RUW.

推论：S_CFRU=S_CPE.所以,固定半直径CP,CQ,点R在曲线上运动,则S_CFRU为定值
事实上四边形CFRU当R与P重合时就是△CPE.以CP,CQ为x,y轴建立仿射坐标系,过R
作CQ平行线交CP于X,作CP平行线交CQ于Y,则S_RYF-S_CXRY+S_RXU=A(A为常量).
由于RX,RY,RF,RU的方向固定,S_RYF∝RY²,S_CXRY∝RX·RY,S_RXU∝RX²,
所以有心圆锥曲线在以其中心为原点,任意两条直径为轴的仿射坐标系下方程为αx²+βxy+γy²=A
(1)抛物线的所有直径平行.反之,平行于直径的直线为直径.[Ⅰ.46.]
(2)有心圆锥曲线的所有直径共点.反过来,过中心的直线为直径.[Ⅰ.47.][Ⅰ.48.]
证明(1)任作弦RR'∥QT交直径PV于U.QM∥PV交RR'于M,作RF,R'F',PE∥QV.
由18,S_RUW=S_EFWP,S_R'UW'=S_EF'W'P,相减,S_RWW'R'=S_FWW'

F',∴S_RMF=S_R'MF',∵R'F'∥RF,∴RM=MR'.

(2)对于椭圆,任作弦RR'∥QT交PP'于U.作RW,R'W',PE∥QV,RR'交CQ于F,F',E,M,由
18得S_RUCF=S_R'UCF',∴S_FRM=S_F'R'M,∵FR∥F'R',∴RM=MR'.由R的任意
性,CQ为直径.
对于双曲线,当R,R'在双曲线的同一支上,用和上面类似的方法可证明.
当R,R'在双曲线的两支上,Q'为QC延长线与曲线的另一支的交点,若RR'平行于Q'处的切
线,则由14,CQ平分RR'.于是我们只需证明Q'处的切线平行于Q处的切线.
欧多克索斯提供了下面的证法(就是中心对称):由11,CQ=CQ',又QV∥Q'V',∴CV=CV'
由16,CV·CT=CP²,CV'·CT'=CP'2,∴CV·CT=CV'·CT',∴CT=CT'
∴·CQT··CQ'T',∴QT∥Q'T'.
如果圆锥曲线的直径与被它所平分的弦垂直,就称为主直径.
抛物线恰有一条主直径；椭圆、双曲线恰有两条主直径
证明：由6,任意圆锥曲线存在至少一条主直径,曲线上任意点P,作弦PP'与主直径垂直,
则PP'被主直径垂直平分,因此主直径是圆锥曲线的对称轴.
对于抛物线,设PV,QM都是主直径,弦RR'被PV垂直平分,弦SS'被QM垂直平分,由19,PV∥QM,∴RR'∥SS',∴弦RR'也被QM垂直平分,从而PV与QM重合,.
对于椭圆,它的一条主直径AA'与它的共轭直径BB'互相垂直平分,因此被AA'平分的弦与BB'垂直,所以BB'也是主直径.可见主直径是成对出现的.假设椭圆还有一对主直径,DD',EE'且DD'不与AA'或BB'重合,由14,A处的切线与BB'平行,因而与AA'垂直,同理D处的切线与CD垂直.假设A处的切线与CD平行,则BB'与DD'重合,矛盾.所以A处的切线与CD相交,D处的切线与CA相交,设交点分别为G,F,则△ACG~△DCF,由19,S_ACG=S_DCF,∴△ACG≌△DCF,CA=CD.同理CB=CD,所以CA=CB,过椭圆上任一点P,作AA',BB'的纵标线
PP_a,PP_n,由8,(BC²)/(AC·CA')=(PP_a²)/(AP_a·P_aA'),∴PP_a²=AP_a·P_a
A'=AC²-CP_a²,
同理PP_b²=BC²-CP_b²,∵CP_a²+CP_b²=AC²,∴PC²=PP_a²+PP_n²=AC²,曲线是圆.矛盾.
对于双曲线,同样可以证明主直径是成对出现的.假设椭圆还有一对主直径,DD',EE'且DD'不与AA'或BB'重合,每对共轭直径必有一条与曲线相交,另一条与曲线不交,设AA',DD'与曲线相交,交点为A,A',D,D',按照上面的方法CA=CD,

推论(1)椭圆、双曲线恰有两条对称轴.
(2)椭圆或双曲线的两条主直径相等,则它是圆.
(3)既然椭圆的两条主直径不相等,就把较长的(设为AA')称为长轴,较短的(BB')称为短轴.
由12,AA'>其竖直边,BB'<其竖直边.用a和b分别表示$AA'\over2$,$BB'\over2$.设PP_a=y,PP_b=x,则(a²-x²)/y² =a²/b²,即x²/a² +y²/b²=1.这就是椭圆在以CA,CB为x,y轴的直角坐标系下的方程.
于是x²+y²=a² ($x^2\over a^2$+$y^2\over b^2$)-$a^2-b^2\over b^2$y²=a²-$a^2-b^2\over b^2$.
y²随着y的增大而减小,即PC随着P从A运动到B单调递减,随着P从B运动到A'单调递增,随着P从A'运动到B'单调递减,随着P从B'运动到A单调递增.所以长轴是最长的直径,短轴是最短的直径.
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(4)AA'是半径为r的圆O的直径,R在圆O上运动,(R'M)/RM=k(k>0,k≠1),则R'的轨迹是椭圆.其中心为O,并且AA'是其直径.当k>1和k<1时长轴,短轴分别为kr,r和r,kr.
从而可以把椭圆定义为圆的仿射像.在圆中共轭直径相互垂直,反之,垂直的直径互为共轭.
因此,P为椭圆上的点,AA'为主直径,则平行于AP,A'P的直径互为共轭.
这相当于把椭圆定义为圆柱面被不平行于底的平面截得的曲线,或者一个圆在不平行于它的平面上的平行投影.而且圆柱面可看作圆锥面的极限.
由8,共轭直径在直角坐标系AOB中的斜率乘积为定值-b²/a² .
共轭直径的端点坐标(x,y),(x',y')满足x'/a=-y/b,y'/b=x/a或x'/a=y/b,y'/b=-x/a,
从这里也能得到共轭直径的斜率乘积为定值-b²/a² .
(5)共轭直径的平方和为定值
(6)当P从A运动到B时恰存在一个位置使得CP²=(a²+b²)/2,则它的共轭直径CQ²=(a²+b²)/2,故CP=CQ,R为椭圆上任一点,RM为PP'的纵标线,则(RM²)/(PM·MP')=(CQ'2)/(PC·CP')=1,即RM²=PM·MP',所以椭圆在以CP,CQ为x,y轴的仿射坐标系下的方程为x²+y²=((a²+b²)/2)².
(1)抛物线上两点P,Q处的切线交于O,过P的直径交QO于T,过Q的直径交PO于E,弦RR'∥QT交PT,QE于U,M,取p'满足OQ:QE=p':2QT,则RM²=p'·QM.[Ⅰ.49.]
(2)有心圆锥曲线上两点P,Q处的切线交于O,过P的直径交QO于T,过Q的直径交PO于E,取QL(=p')满足OQ:QE=QL:2QT,Q'在QC延长线上,CQ=CQ',弦RR'∥QT交CQ于M,作MK∥QL交Q'L于K,则RM²=QM·MK.[Ⅰ.50.]
事实上(1)(2)给出了直径QE的纵线参量p'的作图方法.
证明(1)作纵标线QV.由14,QE=PV=PT,∴S_QTWF=(EW).
过R作PE平行线交PT,QE于W,F,由18得(EW)=S_RUW,∴S_QTWF=S_RUW.
∴(QU)=S_RMF,∴RM·MF=2QM·QT.①
而RM:MF=OQ:QE=p':2QT,即RM²:RM·MF=p'·QM:2QM·QT②
由①②得RM²=p'·QM.
(2)过C作Q'L平行线交QL于H,交MK于N,过R作PE平行线交PT,QE于W,F.
∵CQ=CQ',∴QH=HL.∵RM:MF=OQ:QE=QL:2QT=QH:QT (A)
由18,S_CQT=S_RUCF,∴S_RMF=S_QTUM,∴RM·MF=QM(QT+MU) (B)
∵QT:MU=CQ:CM=QH:MN,∴(QH+MN):(QT+MU)=QH:QT=┴((A)) RM:MF
∴QM(QH+MN):QM(QT+MU)=RM²:RM·MF,由(B),RM²=QM(QH+MN)=QM·MK
同样适用于双曲线的另一支:Q'T'∥QT,P'E'∥PE,由19中欧多克索斯证明的切线平行:O'Q':Q'E'=OQ:QE=p':2QT=p':2Q'T'.
这里(B)用的是欧多克索斯的注释中的证明.原著在(B)的证明中用了S_CPE=S_CQT,但这个
等式直到[Ⅲ.1.]才得到证明.它可看作18(2)中R与Q重合的极限情况.但这不符合古希腊几何学家对极限情况给出分开的证明的习惯.而且在[Ⅴ.2]中,阿波罗尼奥斯对P与B重合的极限情况给出了分开的证明.

<svg width="100%" height="60"><text font-size="40" id="c05" text-anchor="middle" x="50%" y="40">05 圆锥曲线的作图</text></svg>
给定直径、纵标线方向和纵线参量p,求作抛物线.[Ⅰ.52.][Ⅰ.53.]
解：(1)给定的直径是主直径AB,延长BA到C,使AC>p/4,设s为AC和p的比例中项（因此
4>p/AC=s²/(AC² )即2AC>s,因此可以构成等腰三角形,腰等于AC,底等于s）
作·AOC垂直于给定平面,使得AO=AC,OC=s.
作平行四边形ACOE,以O为顶,圆AE为底作圆锥,∵OE=AC=OA,∴圆锥为正的
延长OE,OA到H,K,HK∥AE,过HK作平行于底的平面交给定平面于PP',与AB正交于N.
∵s²=p·AC,AE=OC=s,AO=AC,∴AE²=p·AO.
∵所给平面平行于OE,∴PAP'是一个抛物线,主直径为AB,纵线参量为p.
(2)给定的直径PM不是主直径,延长MP到F使PF=1/2 p.作PT平行于纵标线,作FT⊥TP于T.作TN∥PM,PN⊥TN于N,取TN中点A.过A作PM垂线交PM,PT于E,O,在EA延长线上取L使NA·AL=PN²,以主直径AN和纵线参量AL如(1)所述作抛物线.∵PN²=LA·AN,∴抛物线过P.∵AT=AN,∴PT为切线(15)
∵PM∥AN,∴PM为直径.∵△FTP∽△OEP,∴OP/PE=FP/PT=P/2PT,由21知p是PM的纵线参量.
给定直径、纵标线方向和纵线参量p求作双曲线.[Ⅰ.54.][Ⅰ.55.][Ⅰ.59.]
解：(1)给定直径是主直径AA'.过A,A'作圆垂直于给定平面,直径DF平分AA'于B,使得
DB/BF=AA'/p(具体作法见下方注1).作AE∥DF交A'F延长线于E,则FA=FE,以F为顶,
以直径为AE且垂直于给定平面的圆为底作圆锥.∵FA=FE,∴圆锥是正的

延长FE,FA到H,K,AE∥HK,过F作AA'平行线交HK于M,∵所给平面与EF延长线相交,∴截线是
双曲线.∵$AA'\over p$=$DB\over BF$=$DB·BF\over BF^2$=$A'B·BA\over BF^2$=$FM^2\over HM·MK$,∴p是直径AA'的纵线参量.
注1：给定线段AB和BC,要求过A,B作一圆,直径ML平分AB于D,使得DL/DM=AB/BC.
引线段EF⊥AB,使AB/BC=DE/DF.设G为EF中点.如果AB=BC,那么ED=DF,即D与G重合;
不妨设AB>BC,以G为圆心,过F画圆,如果圆过A和B,那么已经作出;否则,A和B或者都在圆
内或者都在圆外.设直线AB交圆周于H,K,过B作BM∥FK,BL∥KE,于是∠MAL=∠MBL=90°,于
是以ML为直径的圆过A,B两点,又MB∥FK,于是
DF/DM=DK/DB=DE/DL,∴AB/BC=DE/DF=DL/DM.

(2)给定的直径PP'不是主直径.作PT平行于纵标线,C为PP'中点.在以CP为直径的圆上取点
N,NH∥PT交CP延长线于H,使得(NH²)/(CH·HP)=p/PP'(具体作法见下方注2)
CN交PT于T.在CN上取点A,使CA²=CT·CN,延长NP到K使PN²=AN·NK
延长AC到A'使得AC=CA',过A作PN平行线交CP,PT,A'K于E,O,M.
以主直径AA',纵线参量AM如(1)所述作双曲线.下面说明它是所求的双曲线.
∵PN²=AN·NK,∴它将通过P.同理通过P'.
∵CT·CN=CA²,∴由16知PT切曲线于P,∴CP的纵标线∥PT,
∵p/2PC=(NH²)/(CH·HP),2CP/2PT=CH/NH=(CH·HP)/(NH·HP),∴
p/2PT=(NH²)/(NH·HP)=NH/HP=OP/PE
由21知p是直径PP'的纵线参量.

注2：设HN延长线交以PC为直径的圆G于N',则N'H·HN=CH·HP,∴$NH^2\over CH·HP$=$NH\over N'H$.
为了作HNN'平行于纵标线,使得(N'H)/NH=(PP')/p,在任意线段αβ上取点γ使得
αβ/γβ=(PP')/p.
设δ为αγ中点,作半径GR⊥PT,切线RF交CP延长线于F.在线段FR上取S使得FS/SR=βγ/γδ,延
长FR到S'使得RS'=RS.设GS,GS'交圆G于N,N',NN'延长线交CF于H.点N,H即为所求.
两条双曲线共中心,其中一条的共轭直径对于第二条也共轭,则这两双曲线互称为共轭的.
给定两条互相平分于C的线段PP',DD'互为第二直径,求作双曲线.[Ⅰ.60.]
解：作PL⊥PP'使PP'·PL=DD'2,用23的方法以直径PP',纵标线平行于DD'和纵线参量PL
作双曲线,则PP',DD'为共轭直径.同样地作DM⊥DD'使得DM·DD'=PP',用23的方法以
直径DD',纵标线平行于PP'和纵线参量DM作双曲线,则PP',DD'为共轭直径.
因此问题总是有两解,而且是共轭的.
给定直径、纵标线方向和纵线参量p,求作椭圆.[Ⅰ.56.][Ⅰ.57.][Ⅰ.58.]
解：(1)(i)给定的直径为长轴AA',则AA'>p.在AA'上截取AD=p,以AA'为弦作圆垂直于给定平面,E为弧AA'中点,作DF∥A'E交AE于F,过F作AA'平行线交圆于O.延长EO,A'A交于T.过OA延长线上任意点H作OE平行线交OA',AA',OF的延长线于K,M,N.
∵∠TOA=∠EA'A=∠EAA'=∠EOA',HK∥OE,∴∠OHK=∠OKH,OH=OK.
以O为顶,以直径为HK且垂直于给定平面的圆为底作圆锥.∵OH=OK∴圆锥是正的.
∵给定平面与OH,OK交于A,A',∴截线是椭圆,∵TO∥HK,∴TO/TA=NH/NO,TO/TA'=NK/NO,∴$p\over AA'$=$AD\over AA'$=$AF\over AE$=$TO\over TE$=$TO^2\over TO·TE$=$TO^2\over TA·TA'$=$NH·NK\over NO^2$,∴p为AA'的纵线参量.
(ii)给定的直径为短轴BB',则BB'<p.过BB'中点C作AA'⊥BB',AA'²=BB'·p,作AL∥BB',AL/AA'=BB'/p,则AA'>AL.
如(i)所述以主直径AA'和纵线参量AL作椭圆,下面说明它是所求的椭圆.
∵AL/AA'=BB'/BM=BB'²/AA'²=(BC²)/(AC·CA'),∴它经过B,B'.
∵p/BB'=AC²/BC²=AC²/(BC·CB'),∴直径BB'的纵线参量等于p.

(2)给定直径PP'不是主直径,C为PP'中点,PL=p,在以CP为直径的圆上取点N,使得NH∥PT
满足NH²:CH·HP=PL:PP'(作图方法见下面的注),延长CN交PT于T,在CT上取A使得
CT·CN=CA²,延长AC到A'使得AC=CA',延长PN到K使得AN·NK=PN²,连接A'K,过A
作CA垂线交CP延长线于E,交PT于O,交A'K延长线于M.用(1)的方法由主直径AA'和竖
直边AM作椭圆.下面说明它是所求的椭圆.
∵PN²=AN·NK,∴它经过P,P'.∵CT·CN=CA²,∴PT为P处的切线
∵p:2CP=NH²:CH·HP,2CP:2PT=CH:HN=CH·HP:NH·HP,
∴p:2PT=NH²:NH·HP=NH:HP=OP:PE,∴p为PP'的纵线参量.

注：设NH再交以CP为直径的圆于N',问题转化为作NHN'∥PT使N'H/NH=PP'/p(见23注2)
<svg width="100%" height="60"><text font-size="40" id="c06" text-anchor="middle" x="50%" y="40">06 渐近线</text></svg>
p是双曲线的直径PP'的纵线参量,作P处的切线,在P的两侧截取PL=PL'=CD则
(1)CL,CL'都不与双曲线相交,这两条线称作渐近线[Ⅱ.1.]
(2)双曲线的两支共渐近线[Ⅱ.15.]
(3)共轭双曲线共渐近线[Ⅱ.17.][Ⅱ.21.]
证明(1)假设CL交双曲线于Q,作纵标线QV,则QV∥LL'

∵p/PP'=(p·PP')/PP'²=PL²/CP²=QV²/CV²,p/PP'=QV²/(PV·P'V),∴PV·P'V=CV²,∴CV²-CP²=CV²,矛盾.因此,CL不与双曲线相交,同理CL'不与双曲线相交
(2)在曲线另一支上点P'处的切线上截取P'M=P'M'=CD,则CM,CM'为渐近线.
∵MM'∥LL',PL=P'M,∵PCP'共线,∴LCM共线.同理,L'CM'共线，因此曲线两支共渐近线。
(3)令PP',DD'为两个共轭双曲线的共轭直径。作P,P',D,D'处的切线。由14和24,切线形成平行四边形，其对角线LM,L'M'过中心。
在两渐近线之间没有过中心 C的直线为渐近线[Ⅱ.2.]
证明：假设CK为渐近线。过P做PK∥CL交CK于K，过K做RKQR'∥LL',LL'切双曲线于P。
由于PL = PL'，RR'∥LI'，因此RV = RV'，其中V是R'和CP的交点。

kuing · 发表于 2021-12-20 17:31

本帖最后由 kuing 于 2024-3-25 21:08 编辑 仅在本页补回 svg 识别，目录啥的又恢复正常鸟。
（本回帖内含之前的 js 代码）（因为懒得编辑帖子了，太麻烦）

hbghlyj · 发表于 2022-1-31 06:43

回复 3# kuing
svg中,线的端点标箭头的方法:
一种是用marker-start,引用一个画好的箭头,而且可以自动摆正方向
一种是用unicode,向上的三角:▲,向右的三角:▸,作为文本元素,放到对应的位置.

hbghlyj · 发表于 2024-3-25 20:35

回复 3# kuing
svg 识别，好像不行了啊

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[考古]圆锥曲线论

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