自交多边形面积

hbghlyj

问题来自这个旧帖:


In[1]:=
           poly=Polygon[{{1, 0}, {-(a^2 - b^2)/(a^2 + b^2), 2 a b/(a^2 + b^2)},
       {2 a b/(a^2 + b^2), -(a^2 - b^2)/(a^2 +b^2)}, {2 a b/(a^2 + b^2), (a^2 - b^2)/(a^2 + b^2)},
       {-(a^2 - b^2)/(a^2 + b^2), -2 a b/(a^2 + b^2)}}];
In[2]:=
           Factor[Refine[Area[poly], a>b>0]]
Out[2]:=
           $\displaystyle\frac{(a-b) \left(a^3+5 a^2 b-a b^2-b^3\right)}{\left(a^2+b^2\right)^2}$
In[3]:=
           %/.{a -> 2, b -> 1}
Out[3]:=
           1
In[4]:=
           a=2; b=1; Area[poly]
Out[4]:=
           $46\over75$
In[5]:=
           Show[Graphics[{Circle[],poly}]];
Out[5]:=
           

赋值前是按照代数规则计算的,所以中间的五边形算了2次(因为缠绕数为2);
而当赋值$a=2,b=1$后,按照奇偶规则,中间的五边形不算,所以Out[3]减去Out[4]应该等于中间的五边形面积的2倍

hbghlyj

In[1]:= poly = {{1, 0}, {-(a^2 - b^2)/(a^2 + b^2), 2 a b/(a^2 + b^2)}, {2 a b/(a^2 + b^2), -(a^2 - b^2)/(a^2 + b^2)}, {2 a b/(a^2 + b^2), (a^2 - b^2)/(a^2 + b^2)}, {-(a^2 - b^2)/(a^2 + b^2), -2 a b/(a^2 + b^2)}}; In[2]:= poly1 = Append[1] /@ poly; inner = Polygon[Table[FullSimplify[{x, y} /. Solve[Det[{poly1[[i]], poly1[[Mod[i + 1, 5, 1]]], {x, y, 1}}] == Det[{poly1[[Mod[i + 2, 5, 1]]], poly1[[Mod[i + 3, 5, 1]]], {x, y, 1}}] == 0, {x, y}][[1]]], {i, Mod[1 + 3 Range[5], 5, 1]}]] Out[2]:=

$\displaystyle\text{Polygon}\left[\left\{\left\{1-\frac{2 a}{a+b}+\frac{2 a b}{a^2+b^2},\frac{2 a (a-b) b}{(a+b) \left(a^2+b^2\right)}\right\},\left\{1+\frac{2 a (-a+b)}{a^2+b^2},0\right\},\left\{1-\frac{2 a}{a+b}+\frac{2 a b}{a^2+b^2},\frac{2 a b (-a+b)}{(a+b) \left(a^2+b^2\right)}\right\},\left\{\frac{2 a b}{a^2+b^2},-\frac{(a-b)^2 b}{a \left(a^2+b^2\right)}\right\},\left\{\frac{2 a b}{a^2+b^2},\frac{(a-b)^2 b}{a \left(a^2+b^2\right)}\right\}\right\}\right]$

In[3]:= Show[Graphics[{Circle[], inner /. {a -> 2, b -> 1}}]] Out[3]:= In[4]:= Refine[Area[inner], a > b > 0] Out[4]:= $\displaystyle\frac{(a-b)^2 b \left(3 a^3+a^2 b+a b^2-b^3\right)}{a (a+b) \left(a^2+b^2\right)^2}$ In[5]:= % /. {a -> 2, b -> 1} Out[5]:= $29\over150$

所以小五边形的面积的2倍是$29\over75$与1#的结果相符合.

hbghlyj

由“五角星的面积≥中间的五边形面积”得到一个不等式
$$\frac{(a-b) \left(a^3+5 a^2 b-a b^2-b^3\right)}{\left(a^2+b^2\right)^2}\geq
   2\frac{ (a-b)^2 b \left(3 a^3+a^2 b+a b^2-b^3\right)}{a (a+b)
   \left(a^2+b^2\right)^2}\quad(a≥b≥0)$$
$$⇔a^5+8 a^3 b^2-2 a^2 b^3+3 a b^4-2 b^5≥0$$
很明显是成立的...还可以改进一下系数$$\frac{(a-b) \left(a^3+5 a^2 b-a b^2-b^3\right)}{\left(a^2+b^2\right)^2}\geq
   4\frac{ (a-b)^2 b \left(3 a^3+a^2 b+a b^2-b^3\right)}{a (a+b)
   \left(a^2+b^2\right)^2}\quad(a≥b≥0)$$
$$⇔a^5-6 a^4 b+12 a^3 b^2-2 a^2 b^3+7 a b^4-4 b^5≥0$$
$$⇔a^3(a-3b)^2+2 a^3 b^2+ab^2(a-b)^2+2 a b^4+4b^4(a^4-b^4)≥0$$
很明显是成立的...