已知x、y、z＞0，求证：$\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}...$

走走看看

x、y、z为正实数，求证：$\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\ge\frac32$

除了用切比雪夫不等式外，有没有高中生能用的方法来证明？

色k

方法太多了，请先自己思考一下。

PS、主题分类选一下。

isee

这个不等式都有名字：nesbitt 不等式

色k

虽然楼上已经说了该不等式的名字，但还是建议楼主先自己尝试证明，再行搜索

走走看看

用通分的方式，再移到一边作差，但发现不容易配方。

转化为基本不等式可以证明。

查了下，有7种方法可以证明。

kuing

还是查得太快了，这题很适合入门练习……

既然都查了，那我就随便写几种吧……

完全去分母展开就不提了。

一、首先最容易想到的应该是
\[\sum\frac x{y+z}=\sum\frac{x^2}{xy+xz}\geqslant\frac{(x+y+z)^2}{2(xy+yz+zx)}\geqslant\frac32,\]
太常用的手法了。

二、其次是排序不等式，不妨设 `x\geqslant y\geqslant z`，则 `\frac1{y+z}\geqslant\frac1{z+x}\geqslant\frac1{x+y}`，由顺序和不小于乱序和有以下两式相加即得
\begin{align*}
\sum\frac x{y+z}&\geqslant\sum\frac y{y+z},\\
\sum\frac x{y+z}&\geqslant\sum\frac z{y+z}.
\end{align*}

三、两边 +3 也是不难想到的：
\begin{align*}
&\iff\sum\left( \frac x{y+z}+1 \right)\geqslant\frac92,\\
&\iff(x+y+z)\sum\frac1{y+z}\geqslant\frac92,\\
&\iff(y+z+z+x+x+y)\left( \frac1{y+z}+\frac1{z+x}+\frac1{x+y} \right)\geqslant9.
\end{align*}

四、SOS 方法通常也用这题来示范的
\begin{align*}
\sum\left( \frac x{y+z}-\frac12 \right)&=\frac12\sum\frac{x-y+x-z}{y+z}\\
&=\frac12\sum\left( \frac{x-y}{y+z}+\frac{y-x}{z+x} \right)\\
&=\frac12\sum\frac{(x-y)^2}{(y+z)(z+x)}.
\end{align*}

五、将第一、三两种思路结合一下：
先类似于第一种方法那样可得
\[\sum\frac{x^2}{y+z}\geqslant\frac{x+y+z}2,\]
然后两边加 x+y+z
\begin{align*}
&\iff\sum\left( \frac{x^2}{y+z}+x \right)\geqslant\frac{3(x+y+z)}2,\\
&\iff\sum\frac x{y+z}\geqslant\frac32.
\end{align*}

六、函数方法，先由齐次性不妨设 `x+y+z=1`，考虑 `f(x)=\frac x{1-x}`，求二阶导知其下凸，所以琴生立得，只是高中生不知是否允许用？

七、不允许琴生无所谓，因为琴生可行则切线法必可行，算出 `x=1/3` 处切线是 `(9x-1)/4`，然后作差计算
\[f(x)-\frac{9x-1}4=\frac{(3x-1)^2}{4(1-x)}\riff f(x)\geqslant\frac{9x-1}4\riff\cdots\]

七点五、将切线法改写一下
\[\frac x{y+z}-\frac14\left( \frac{9x}{x+y+z}-1 \right)=\frac{(2x-y-z)^2}{4(y+z)(x+y+z)}\geqslant0\riff\sum\frac x{y+z}\geqslant\frac14(9-3)=\frac32.\]
可起到装X效果，当然这装得太明显，只能忽悠新手。

八、分母换元，这应该属于很容易想到的，但我写到这里才想起，才放到这么后……
令 `y+z=a` 等等，则
\[\sum\frac x{y+z}=\sum\frac{b+c-a}{2a}=\frac12\left( \sum\frac ab+\sum\frac ba \right)-\frac32\geqslant\frac32.\]

九、待定齐次指数式方法，看是否存在 `t` 使 `\frac x{y+z}\geqslant\frac32\cdot\frac{x^t}{x^t+y^t+z^t}`，取 `y=z=1` 后求导再令 `x=1`，可知 `t` 只能是 `3/2`，于是换个元，尝试证明
\[\frac{x^2}{y^2+z^2}\geqslant\frac32\cdot\frac{x^3}{x^3+y^3+z^3},\]
即证
\[2(x^3+y^3+z^3)\geqslant3x(y^2+z^2),\]
由均值 `x^3+y^3+y^3\geqslant3xy^2`, `x^3+z^3+z^3\geqslant3xz^2` 相加即得。

十、最后再写一个变形技巧高一点的，凑够十吧……
不妨设 `z` 最小，则
\begin{align*}
&\frac x{y+z}+\frac y{z+x}+\frac z{x+y}-\frac32\\
={}&\frac{x-y}{y+z}+\frac{y-x}{z+x}+\frac y{y+z}-\frac12+\frac x{z+x}-\frac12+\frac z{x+y}-\frac12\\
={}&\frac{(x-y)^2}{(x+z)(y+z)}+\frac{y-z}{2(y+z)}+\frac{x-z}{2(x+z)}+\frac{z-x+z-y}{2(x+y)}\\
={}&\frac{(x-y)^2}{(x+z)(y+z)}+\frac{y-z}2\left( \frac1{y+z}-\frac1{x+y} \right)+\frac{x-z}2\left( \frac1{x+z}-\frac1{x+y} \right)\\
={}&\frac{(x-y)^2}{(x+z)(y+z)}+\frac{(y-z)(x-z)}{2(y+z)(x+y)}+\frac{(y-z)(x-z)}{2(x+z)(x+y)}\geqslant0.
\end{align*}

走走看看

突然发现，x、y、z为正实数，$\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}\ge\frac32$

和$\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}\le\frac32$  都错。

比如取$x=1，y=2，z=3，\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}=\frac{89}{60}\le\frac32$

比如取$x=\frac12，y=\frac13，z=\frac14，\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}=\frac{158}{105}\ge\frac32$

也就是说，这个式子既没有最小值又没有最大值。

按理说x=y=z时，应该取得最值。

isee

还是喜欢分式形式的柯西~

baxiannv

走走看看 发表于 2022-5-27 17:32
突然发现，x、y、z为正实数，$\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}\ge\frac32$

和$\frac{x}{x+y}+\ ...

懵了 那为啥那多么多人都做出来了 这题还挺火的

kuing

回 7#：$\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}$ 的取值范围是 `(1,2)`。

走走看看

baxiannv 发表于 2022-5-27 23:53
懵了 那为啥那多么多人都做出来了 这题还挺火的

你大意了。

这个与1楼的题目不一样。

baxiannv

走走看看 发表于 2022-5-29 17:44
你大意了。

这个与1楼的题目不一样。

哪里不一样

走走看看

1楼的左边是：$\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}$

7楼的左边是：$\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}$