求助一道不等式的简单解法

TripleIntegrals

已知正整数 $n \geq 2, a_{1...n}, b_{1...n} \in \mathbb R$, 满足 $\sum_{k=1}^n a_k = \sum_{k=1}^n b_k = 1$, 求最小的实数 $\lambda$，使得 $\lambda \sum_{i \leq i < j \leq n} (a_ib_j - a_jb_i)^2 \geq \sum_{i=1}^n (a_i-b_i)^2$。并给出一个在 $\lambda$ 取最小值的时候取等的例子

TripleIntegrals

我做的时候用了向量和拉格朗日恒等式，想问问有没有什么简单点的解法。

TripleIntegrals

我的解法是用向量，如下：
令 $\vec a = (a_1, a_2, \dots, a_n)$, $\vec b=(b_1, b_2, \dots, b_n)$, $\vec c =(\frac 1n, \frac 1n, \dots, \frac 1n)$, $\vec u = \vec a- \vec c$, $\vec v = \vec b - \vec c$。令 $a=|\vec a|$, $b = |\vec b|$, $u = |\vec u|$, $v = |\vec v|$, 显然有:
\[ n\vec c \cdot \vec a = 1 = n \vec c ^2+ n \vec c  \cdot \vec u = 1 + n\vec c \cdot \vec u\]

所以 $\vec c ⊥ \vec u$。同理可得 $\vec c ⊥ \vec u$。 不妨设 $\theta = <\vec a, \vec b>$，则由拉格朗日恒等式有:

\[ \sum_{1 \leq i < j \leq n}(a_ib_j-a_jb_i)^2 = a^2b^2 -(\vec a \cdot \vec b)^2 \geq 0, u^2v^2 \geq (\vec u \cdot \vec v)^2\]

从而

\[ a^2b^2-(\vec a\cdot \vec b)^2 =(c^2+u^2)(c^2+v^2)-(c^2+\vec u \cdot \vec v)^2 = \frac{u^2+v^2-2\vec u \cdot \vec v}n + u^2v^2 - (\vec u \cdot \vec v)^2\]

而 $\sum_{i=1}^n (a_i-b_i)^2 = (\vec a - \vec b)^2 = (\vec u - \vec v)^2$, 于是 $\dfrac{\lambda(\vec u - \vec v)^2}n + \lambda(u^2v^2-(\vec u \cdot \vec v)^2)\geq (\vec u - \vec v)^2$。

只要 $\vec u$ 和 $\vec v$ 共线，就有 $u^2v^2 = (\vec u \cdot \vec v)^2$, 使得 $\lambda \geq n$, 所以 $\lambda_\text{min} = n$. 此时取等的条件是 $u^2v^2 = (\vec u - \vec v)^2$, 即存在 $t, s \in \mathbb R$ 满足 $ts \neq 0$ 可以有 $t(a_i-\frac 1n) = s(b_i-\frac 1n)$ 对于 $i=1,2,\dots,n$ 都恒成立.

例如: $\vec a = (1,0,0,\dots,0)$, $\vec b = (n, -1, -1, \dots, -1)$. 此时 $\lambda (n-1) \geq (n-1)^2 + (n-1)$ 恰好取到等号。

TripleIntegrals

@kuing 捞，有没有初等一点的解法，比如运用基本不等式之类。