$n\leqslant5$ 才成立的 $n$ 元对称不等式

O-17

https://www.zhihu.com/question/544118158
https://math.stackexchange.com/q/4618592/1118706
若正实数 $x_1,x_2,\ldots,x_n$ 满足 $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{x_k}=n$ , 求证:
$$
\sum_{\text{sym}}{\prod_{k=1}^{n}{x_k^k}}\leqslant n!
$$
对 $x_k$ 恒成立当且仅当 $n\leqslant5$ .

这个不等式我最早是去年 7 月在知乎上看到的, 一直做不出来, 有位答主回答之后, 因为个人不是太熟悉调整法, 仔细读了一下证明发现没啥问题, 但后来发现那个引理就是错的 (由 MSE 的 Sangchul Lee 指出) . 后来 1 月时我去 MSE 提问, 才得知这个不等式只对 $n\leqslant5$ 成立.

$n=1$ 时平凡取等. $n=2$ 时即在 $a+b=2$ 下证明 $a^2b+ab^2\leqslant2$ . 一个均值即可搞定, $n=3$ 时, 即在 $a+b+c=3$ 下证明
$$
\sum(a^3b^2c+a^3bc^2)\leqslant6
$$
( $\sum$ 表示轮换和)
$pqr$ 法是可行的, 这里主要讲讲配方, 如果直接配齐次, 会得到一个又臭又长又松的不等式, 令人十分不快, 所以考虑先弱化一下约束条件, 这一步比较随性, 可以凭心情挑一些项试试, 我用的是 $(\sum a)(\sum ab)$ , 首先
$$
\left(\sum a\right)^3=3\left(\sum a\right)\left(\sum ab\right)+\frac12\left(\sum a\right)\left[\sum(a-b)^2\right]
$$
得到 $(\sum a)(\sum ab)\leqslant9$ , 再用这个条件来配齐次, 即只需证下面的第二个不等号
$$
6\geqslant\frac2{27}\left[\left(\sum a\right)\left(\sum ab\right)\right]^2\geqslant\sum(a^3b^2c+a^3bc^2)
$$
这里几乎没有靠外的项, 所以思路是利用这个很强的结构 $\sum ab(a-c)^2(b-c)^2$ , 可配方得
$$
2\left[\left(\sum a\right)\left(\sum ab\right)\right]^2-27\sum(a^3b^2c+a^3bc^2)=4\sum ab(a-c)^2(b-c)^2+\sum c^2(2a^2+2b^2+5ab)(a-b)^2~.\square
$$
于是 $n=3$ 的情况就证完了.

至于 $n=4$ 的情况, MSE 有一个利用四元的基本对称多项式方法 (就是 $pqr$ 法, 但是四元) 的证明, 个人还没有验证过, 不过大概是对的罢.

$n=5$ 的情况还没有证明, 应该是十分困难.

kuing

`n=3` 你配方简直是大炮打蚊子啊，随便均值一下就好了：
\begin{align*}
\sum(a^3b^2c+a^3bc^2)&=\frac16\cdot6abc\cdot\sum(a^2b+a^2c)\\
&\leqslant\frac1{24}\left(6abc+\sum(a^2b+a^2c)\right)^2\\
&=\frac1{24}\bigl(3abc+(a+b+c)(ab+bc+ca)\bigr)^2\\
&\leqslant\frac1{24}(3+3\times3)^2\\
&=6.
\end{align*}