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Which matrices are permutation diagonalizable?
例子.
对于$A=\left[\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&-2\\0&2&-1\end{array}\right]$有${\bf S} = \left[\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&0&-2\\0&-3&-1\end{array}\right],{\bf PD} = \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&0&1\\0&-3&0\end{array}\right]$使得${\bf SPDS}^{-1} = {\bf A}$
定理.
$M$可以写成$M=S(PD)S^{-1}$, $P$是置换阵, $D$是对角阵, 当且仅当 $M$ 的复数 Jordan 形式的所有非平凡Jordan 块（“平凡”指它的维数=1）都是幂零的。这相当于除零以外的特征值都是单根。
证明.
假设 $M=S(PD)S^{-1}$。令$k$是$P$表示的置换中所有不相交循环的所有长度的最小公倍数，根据这里 $PD$ 的 $k$ 次方是对角矩阵，故$M$的所有非平凡Jordan块都是幂零的.
反之，假设实矩阵 $M$ 的复数 Jordan 形式中的所有非平凡 Jordan 块都是幂零的。我们来证明 $M$ 在 $\mathbb R$ 写成 $S(PD)S^{-1}$ 的形式。根据这里 $M$ 的实Jordan形式是实对角矩阵、一些幂零Jordan块和一些实$2\times2$子矩阵$C$的直接和（每个$C=\pmatrix{a&-b\\ b&a}$表示一对共轭复特征值）。
由于可以循环移动一个幂零 Jordan 块的行以形成对角矩阵[例如$\pmatrix{0&0&1\\1&0&0\\0&1&0}\pmatrix{0&1&0\\0&0&1\\0&0&0}=\pmatrix{0&0&0\\0&1&0\\0&0&1}$]，并且可以交换$C=\pmatrix{a&-b\\ b&a}$ 的两行得到对称矩阵(从而在 $\mathbb R$ 上可对角化)。因此 $M$ 可以写成 $S(PD)S^{-1}$ 的形式。
上面是在$\Bbb R$上的证明。在$\Bbb C$上可类似地证明，且更容易，因为不用考虑第二种$C=\pmatrix{a&-b\\ b&a}$的情况。 |
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