$f$是凸函数,$f(x)+f(y)$的等值线是凸的吗

hbghlyj

$f$是$[0,1]\to\Bbb R$的连续的凸函数, $k\in\Bbb R$, 则$\{(x,y)∈[0,1]^2\mid f(x)+f(y)\le k\}$的每个连通分支是凸集, 这个对吗?

色k

主题分类没选对。（我怀疑原先不是这道题）

kuing

不是应该选 [函数] 吗？

还有标签，与“二元最值”有关系吗？

另外，什么是连通分支？

hbghlyj

$[f(x)+f(2a-x)]''_{x=a}=2f''(a)$ 所以$f(x)$在$a$改变凹凸性推出$f(x)+f(2a-x)$在$a$改变凹凸性

kuing 发表于 2022-11-21 11:30
另外，什么是連通分支 (拓撲)？

极大连通子集
Connected components
The connected component of a point $x$ in $X$ is the union of all connected subsets of $X$ that contain $x$; it is the unique largest (with respect to $⊆$) connected subset of $X$ that contains $x$.

hbghlyj

kuing 发表于 2022-11-21 11:30
与“二元最值”有关系吗？

例如$f(x)=x^2-x^4,x>0$, 则$f''(x)=12(\frac16-x^2)$, 而$f(\sqrt{\frac16})=\frac5{36}$
则$x+y$在$f(x)+f(y)=a$条件下的最小值, 当$a<\frac5{18}$时不在$x=y$时取得, 当$a\ge\frac5{18}$时在$x=y$取得