指定份数的整数互异分拆

青青子衿

求指定份数为\(\,k\,\)的整数互异分拆数，及其生成函数。
比如，分拆为两份且每部分互异的分拆数所组成序列如下：
0, 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9
分拆为仨份且每部分互异的分拆数所组成序列如下：
0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 10, 12, 14, 16, 19, 21, 24

生成函数怎么列出来呢？
\(\begin{split}
\dfrac{x^{\frac{k(k+1)}{2}}}{(1-x)(1-x^2)\cdots(1-x^k)}
\end{split}\)

Czhang271828

记  $P_k(n)$ 为整数 $n$ 的分拆数, 令 $P_{\leq k}(n)=\sum_{l\leq k}P_k(n)$ , 例如 $P_{\leq 2}(5)=3$. 注意到
$$
\begin{align*}
\sum_{n\geq 0}P_{\leq k}(n)q^n=&\sum_{n\geq 0}\sum_{\sum_{j=1}^k j\cdot m_j=n}q^n\\
=&\sum_{m_1\geq 0}\sum_{m_2\geq 0}\cdots\sum_{m_k\geq 0}q^{\sum_{j=1}^k j\cdot m_j}\\
=&\dfrac{1}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^k)}
\end{align*}
$$
从而 $\sum_{n\geq 0} P_k(n)q^n=q^k\cdot\prod_{j=1}^k\dfrac{1}{1-q^j}$.

$n$ 的 $k$-互异分拆为 $P_{k}(n-\binom{k}{2})$, 即 $q^k\cdot\prod_{j=1}^k\dfrac{1}{1-q^j}$ 中 $n-\binom{k}{2}$ 次项系数, 即
$$
q^{(k+1)k/2}\cdot\prod_{j=1}^k\dfrac{1}{1-q^j}
$$
中 $q^n$ 的系数. 相应的生成函数即为上式.