AᴴA的特征值

hbghlyj

$n$阶复矩阵$A = (a_{ij})$的特征值(计入重数)为$\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n$
则\begin{equation}\label1\sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^n a_{ij} a_{ji} = \sum_{k = 1}^n \lambda_k^2\end{equation}
而\begin{equation}\sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^n \overline{a_{ij}} a_{ji} = \sum_{k = 1}^n \abs{\lambda_k}^2\label2\end{equation}不一定成立. 右边是实数, 左边不一定是实数.

解释

若$A$的特征值为$\lambda_i$则

• $f$为多项式则$f(A)$的特征值为$f(\lambda_i)$, 例如$A^2$的特征值为$\lambda_i^2$, 这推出\eqref{1}
• $A^T$的特征值为$\lambda_i$
• $A^*$的特征值为$\lambda_i^*$
• $A^H=(A^*)^T$的特征值为$\overline{\lambda_i}$
  

1. A=Table[RandomComplex[],{i,2},{j,2}];
2. Eigenvalues[ConjugateTranspose[A]]
3. Conjugate[Eigenvalues[A]]

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但是$A^HA$的特征值为$\overline{\lambda_i}\lambda_i=\abs{\lambda_i}^2$不成立, 所以\eqref{2}是错的.