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回复几点疑问:
① 关于曲线平行的定义, 我认为没有. 没必要推广这种性质.
② 为什么 $r(u,v)=a(u)+v\cdot b(u)$ 在 $|b(u)|$ 严格恒大于 $0$ 时可以不妨定义作 $a'(u)\perp b(u)$. 此处 $r_1(u)\perp r_2(u)$ 是指对于任意 $u$, 向量 $r_1(u)$ 与 $r_2(u)$ 垂直.
我们考虑对 $r(u,v)=a(u)+v\cdot b(u)$ 换元. 取足够可微的 $c:\mathbb R\to \mathbb R$, 从而原直纹面可写作
$$
r(u,v)=(a(u)+c(u)\cdot b(u))+v\cdot b(u).
$$
此时假定有 $r_{u}=(a'+c'b+cb')\perp b$. 由于 $|b|\equiv 1$, 故 $b'\perp b$. 上式转化为
$$
(a'+c'b)\cdot b= a'\cdot b+c'=0.
$$
因此取 $c$ 为 $-a'\cdot b$ 的原函数即可.
③ 关于你理解的平行, 个人觉得是"垂直等距". 称 $r_1(u)$ 与 $r_2(u)$ 垂直等距, 若 $|r_1(u)-r_2(u)|$ 是常函数, 且 $r_1'(u)\perp [r_1(u)-r_2(u)]$. 换言之, 垂直等距即长度不变的距离向量恒垂直于一条曲线的切向.
我们假定 $b:\mathbb R\to S^2$ 是将 $\mathbb R$ 映至 $\mathbb R^3$ 中球面(单位向量之集合)的函数, 那么当 $a'(u)\perp b(u)$ 时总有等距的垂直曲线 $r_1(u):=a(u)$ 与 $r_2(u):=a(u)+b(u)$.
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Czhang271828
发表于 2023-2-17 14:24
hbghlyj
发表于 2025-2-24 00:21
