Möbius变换和射影变换限制在单位圆上相等

hbghlyj

平面上，是否存在一个Möbius变换 $g$ 和一个射影变换 $h$，
$g$把单位圆映射到 y 轴，
且对单位圆上的点$P$，都有$g(P)=h(P)$？

hbghlyj

抄Wikipedia：

The circle is birationally equivalent to the line. One birational map between them is stereographic projection, pictured here.

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$g:ℂℙ^1\toℂℙ^1,g(z)=\frac{z+1}{z-1}$是一个Möbius变换，
$g$ 把单位圆映射到 y 轴（而且$g^{-1}=g$，它也把 y 轴映射到单位圆）。

现在问题是找一个射影变换 $h$，让它在单位圆上$=g$.

如果 $h$ 可逆，那么$h^{-1}$把 y 轴映射到圆，矛盾（因为$h^{-1}$也是射影变换，直线必映射成直线）。
所以 $h$ 不可逆，$h$ 把全平面映射到 y 轴。

hbghlyj

代入$z=x+yi$计算
$$g(x+yi)=\frac{x+yi+1}{x+yi-1}=\frac{(x+yi+1)(x-yi-1)}{(x-1)^2+y^2}=\frac{x^2-1+y^2}{(x-1)^2+y^2}-\frac{2y}{(x-1)^2+y^2}i$$
当$z$在单位圆上时，用$x^2+y^2=1$可把二次项都消除：
$$g(x+yi)=\frac{2y}{2x-2}i$$
$g$限制在单位圆上是$(x,y)\mapsto\left(0,\frac{2y}{2x-2}\right)$
定义射影变换$h([x,y,z])=[0,2y,2x-2]$
那么$h$且在单位圆上$g=h$.

hbghlyj

$h$就是把平面上的点「以$(1,0)$为中心透视到y轴上，再关于x轴反射」的变换。

$h$在$(1,0)$这一点没有定义，所以它的定义域是$ℝℙ^2\setminus\{(1,0)\}$

除去$(1,0)$这一点，就能完全满足1#的要求了。
1#的要求「单位圆上任意点」应该是不能满足的，最接近的也就是「除去一点外的任意点」了。

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2024-3-26 16:48
$h$在$(1,0)$这一点没有定义，所以它的定义域是$ℝℙ^2\setminus\{(1,0)\}$

$h$在$(1,0)$无定义，但是当$z$沿一个方向趋于$(1,0)$时是有极限的（例如沿着单位圆的极限$=g((1,0))$）。
但是各个方向的极限不同，所以没法在全平面上定义了。

一般地，任何一个不可逆的射影变换都不能在全平面上定义。
因为不可逆线性变换$f$的核$\geqslant1$維，总会把$\ne(0,0,0)$的点P映射到$(0,0,0)$，则$f$导出的射影变换在P无定义。