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\begin{align*}
\begin{vmatrix}
p P & p & P & 1 \\
q Q & q & Q & 1 \\
r R & r & R & 1 \\
s S & s & S & 1 \\
\end{vmatrix}&=0\\
\\
\frac{(q-x_1)(P-y_1) }{(p-x_1) (Q-y_1)}&=\frac{(q-r)(P-R)}{(p-r) (Q-R)}\\
\frac{(q-x_2) (Q-y_2)}{(p-x_2) (P-y_2)}&=\frac{(q-r) (Q-S)}{(p-r) (P-S)}\\
\\
\frac{{\mathrm{d}}x_{\scriptsize1}}{\sqrt{(x_{\scriptsize1}-p) (x_{\scriptsize1}-q) (x_{\scriptsize1}-r) (x_{\scriptsize1}-s)}}&=\frac{\sqrt{\frac{(P-S) (Q-R)}{(p-s) (q-r)}}\,{\mathrm{d}}y_{\scriptsize1}}{\sqrt{(y_{\scriptsize1}-P) (y_{\scriptsize1}-Q) (y_{\scriptsize1}-R) (y_{\scriptsize1}-S)}}\\
\frac{{\mathrm{d}}x_{\scriptsize2}}{\sqrt{(x_{\scriptsize2}-p) (x_{\scriptsize2}-q) (x_{\scriptsize2}-r) (x_{\scriptsize2}-s)}}&=\frac{\sqrt{\frac{(P-S) (Q-R)}{(p-s) (q-r)}}\,{\mathrm{d}}y_{\scriptsize2}}{\sqrt{(y_{\scriptsize2}-P) (y_{\scriptsize2}-Q) (y_{\scriptsize2}-R) (y_{\scriptsize2}-S)}}
\end{align*}
\begin{align*}
j(p,q,r,s)&=\frac{256 \left(
\begin{vmatrix}
6 & \sum\limits_{cyc}^{4}{pq}\\
\sum\limits_{cyc}^{4}{pq} & 6pqrs \\
\end{vmatrix}
-
\begin{vmatrix}
-3\sum\limits_{cyc}^{4}{p} & 2\sum\limits_{cyc}^{4}{pq} \\
2\sum\limits_{cyc}^{4}{pq} & -3\sum\limits_{cyc}^{4}{pqr} \\
\end{vmatrix}
\right)^3}{27 (p-q)^2 (p-r)^2 (p-s)^2 (q-r)^2 (q-s)^2 (r-s)^2}\\
j(p,q,r,s)&=j(P,Q,R,S)
\end{align*}
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