恒等式求证

ic_Mivoya

证明：$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac1{n^2}\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac1k=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac1{n^3}.$

abababa

$原式=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{H_n}{n^2}-\zeta(3)$，所以只要求$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{H_n}{n^2}$。
\begin{align*}
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{H_n}{n^2}
&=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\int_{0}^{1}\frac{1-x^n}{1-x}dx\\
&=\int_{0}^{1}\left[\frac{1}{1-x}dx\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n^2}-\frac{x^n}{n^2}\right)\right]\\
&=\int_{0}^{1}\frac{1}{1-x}dx(\zeta(2)-Li_2(x))\\
&=\int_{0}^{1}\frac{1}{1-x}dx\left(\zeta(2)-\int_{x}^{0}\frac{\ln(1-t)}{t}dt\right)\\
&=\int_{0}^{1}\frac{1}{1-x}dx\left(-\int_{x}^{1}\frac{\ln(1-t)}{t}dt\right)\\
&=-\int_{0}^{1}\frac{\ln(1-t)}{t}dt\int_{0}^{t}\frac{1}{1-x}dx\\
&=\int_{0}^{1}\frac{[\ln(1-t)]^2}{t}dt\\
&=\int_{0}^{\infty}\frac{y^2}{e^y-1}dy\\
&=\int_{0}^{\infty}\frac{y^2e^{-y}}{1-e^{-y}}dy\\
&=\int_{0}^{\infty}y^2e^{-y}dy\sum_{k=0}^{\infty}e^{-ky}\\
&=\sum_{k=0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}y^2e^{-(k+1)y}dy\\
&=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{2}{(k+1)^3}
=2\zeta(3)
\end{align*}

Czhang271828

指标 $(n-1)$ 不大优美. 先改成 $n$, 也就是给 $\text{左式}\mapsto \text{左式}+\text{右式}$.
$$
\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac1{n^2}\sum_{k=1}^{n}\dfrac1k=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac1{n^2}\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{n+k}\right)=\sum_{n,k=1}^\infty\frac{1}{nk(n+k)}
$$
$$
=\sum_{n,k=1}^\infty\left(\frac{1}{n(n+k)^2}+\frac{1}{k(n+k)^2}\right)=2\sum_{m> k=1}^\infty \frac{1}{m^2k}=2\text{ 左式}
$$
因此 $\text{左式}+\text{右式}=2\text{左式}$.

一般理论: Multiple zeta values, 推荐文章.

snowblink

想请问一下，二重和（即双重求和）求和号可以交换次序的条件是什么？特别是在求和项数为无穷（如本题）时，需要满足什么样的条件呢？

Czhang271828

snowblink 发表于 2024-8-21 22:55
想请问一下，二重和（即双重求和）求和号可以交换次序的条件是什么？特别是在求和项数为无穷（如本题）时， ...

一般地, 对于正项数列 $\{a_{m,n}\}$, 显然
$$
\sum_{m=1}^\infty\sum_{n=1}^\infty a_{m,n}=\sup_{M,N\geq 1}\sum_{m=1}^M\sum_{n=1}^N a_{m,n}=\sum_{m=1}^\infty\sum_{n=1}^\infty a_{m,n}.
$$
不管取什么样的归纳系统, 正项数列的极限都是良定义的. 此极限记作 $\sum_{m,n=1}^\infty a_{m,n}$.

特别地, 若以上结果不为 $+\infty$, 则对任意数列 $\{b_{m,n}\}$ 使得 $|b_{m,n}|<a_{m,n}$, 无限和 $\sum_{m=1}^\infty\sum_{n=1}^\infty b_{m,n}$ 也是良定义的.

注: 高数常用的结论: 若 $\sum_{m=1}^\infty \left(\sum_{n=1}^\infty |a_{m,n}|\right)<\infty$, 则 $\sum_{m=1}^\infty\sum_{n=1}^\infty a_{m,n}=\sum_{n=1}^\infty\sum_{m=1}^\infty a_{m,n}$.

以上的 $|\cdot|$ 可以换成任意度量. 作为特例, $\{a_{m,n}\}$ 可以是复数数列.

战巡

snowblink 发表于 2024-8-21 22:55
想请问一下，二重和（即双重求和）求和号可以交换次序的条件是什么？特别是在求和项数为无穷（如本题）时， ...

这里主要是两个基础定理

1、Tonelli定理：

如果$(X,A,\mu)$和$(Y,B,\nu)$为$\sigma$-有限测度空间，而函数$f: X\times Y\to[0,\infty]$为非负可测函数，则有
\[\int_{X\times Y}f(x,y)d(x,y)=\int_X\left(\int_Yf(x,y)dy\right)dx=\int_Y\left(\int_Xf(x,y)dx\right)dy\]
注意，这里虽然表示为积分，但可以令$f(x,y)$为某种阶梯函数使它变成求和
而这里面的重点是：非负

2、Fubini-Tonelli定理（有时也直接简称Fubini定理）：

如果$(X,A,\mu)$和$(Y,B,\nu)$为$\sigma$-有限测度空间，而函数$f$为可测函数（注意不再要求非负），则有
\[\int_{X\times Y}|f(x,y)|d(x,y)=\int_X\left(\int_Y|f(x,y)|dy\right)dx=\int_Y\left(\int_X|f(x,y)|dx\right)dy\]

且如果上述积分
\[\int_{X\times Y}|f(x,y)|d(x,y)=\int_X\left(\int_Y|f(x,y)|dy\right)dx=\int_Y\left(\int_X|f(x,y)|dx\right)dy<+\infty\]
则有
\[\int_{X\times Y}f(x,y)d(x,y)=\int_X\left(\int_Yf(x,y)dy\right)dx=\int_Y\left(\int_Xf(x,y)dx\right)dy\]

另外，从测度论的角度来看，积分和求和完全就是一回事，因此不做特别区分，积分与求和的可交换性也包含在里面