$\frac{1}{1^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{(2n-1)^2} < \frac{5}{4}$

郝酒

想问下这个除了基本不等式放缩，还有没有其他的证法？

郝酒

顶顶，看有没有别的证法。

活着＆存在

\begin{aligned}
& \frac{1}{(2 n-1)^2}<\frac{1}{(2 n-3)(2 n-1)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2 n-3}-\frac{1}{2 n-1}\right) \\
& \sum \frac{1}{(2 n-1)^2}<1+\frac{1}{9}+\frac{1}{25}+\frac{1}{49}+\frac{1}{2}\left[\left(\frac{1}{7}-\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{2 n-3}-\frac{1}{2 n-1}\right)\right] \\
& =1+\frac{1}{9}+\frac{1}{25}+\frac{1}{49}+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{7}-\frac{1}{2 n-1}\right)<1+\frac{1}{9}+\frac{1}{25}+\frac{1}{49}+\frac{1}{14}<\frac{5}{4}
\end{aligned}多弄几个就可以了。

战巡

\[\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(2k-1)^2}<\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(2k-1)^2}=\zeta(2)-\frac{1}{2^2}\zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}·\frac{3}{4}=\frac{\pi^2}{8}\]

郝酒

求证 $\zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}$

战巡

回复 5# 郝酒


这是常识，自己看书

郝酒

这跟现代人用智能手机是一个类型……
$\zeta(2)=\pi^2/6$并不是一个比放缩更简单的问题。

战巡

回复 7# 郝酒


下次劳资就把题目改成让你证明这个玩意$<\frac{\pi^2}{8}$，看你还怎么放缩

郝酒

只要严格小于就有放缩的空间。
话说这种放缩的技巧还是有教育的价值的。