$\sum \frac{1}{n^2}<\frac{5}{3}$要如何证明啊？

郝酒

如题所示。

realnumber

利用$\frac{1}{n^2}<\frac{1}{n^2-1}=\frac{1}{2}(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1})$
且前三项不放缩
此时左边小于
\[1+\frac{1}{4}++\frac{1}{9}+\frac{1}{2}((\frac{1}{3}-\frac{1}{5})+(\frac{1}{4}-\frac{1}{6})+.....)\]
\[<1+\frac{1}{4}++\frac{1}{9}+\frac{1}{2}(\frac{1}{3}+\frac{1}{4})<\frac{5}{3}\]

郝酒

在出题，我是这样做的：
$\frac{1}{1^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{(2n-1)^2} < \frac{5}{4}$
利用$(2n-1)^2\geq 4n(n-1)$.
然后 $\sum \frac{1}{n^2} < 2$
然后 $\frac{1}{1^2}+\cdots+\frac{1}{(2n)^2} < \frac{1}{1^2}+\cdots+\frac{1}{(2n-1)^2} + \frac{1}{4}\sum \frac{1}{n^2}$
然后解个线性递推。就可以了。

想做压轴题的，结果你这样一做，就要不得的: (

爪机专用

这种题早就被玩烂了啊

郝酒

就是呢，还有新玩法？能否给个链接呢？
kuing版能否提供些压轴题的点子。简单提个名称就好：）

shidilin

用定积分证明，可否？

郝酒

回复 6# shidilin

愿闻其详。

shidilin

百度一下：定积分 求和
可参考：2014年陕西省高考理科数学第21题的解法
wenku.baidu.com/link?url=t1s6er3Fb4oFVi-DfqywU_0Rn-m1Qhc9gKX-Tje ... ZPoSlpDfGdlp8MmwJE9q

isee

在群里见过，还要那一题。

敬畏数学

n^2>n^2-1/4,当n》=2时，有左边《1+2/3=5/3。

踏歌而来

回复 10# 敬畏数学


    这样更简便，赞！

青青子衿

回复 11# 踏歌而来
巴塞尔问题
kuing.cjhb.site/forum.php?mod=redirect&goto=findpost&ptid=2900&pid=10933
\[\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}=\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{n^2})=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}+\cdots=\zeta(2)=?\]

其妙

回复 12# 青青子衿
那不是$\dfrac{\pi^2}6$么？

青青子衿

回复 13# 其妙
是呀！只是把这个问题描述一下！