来自网友问的数列不等式 $\sum(\frac{\ln k}k)^2<2$

kuing

长风大侠 2016-7-23 6:44:01

这逼得真是太紧了，如果用单调性的积分放缩大概要保留20项才行，只好换用更强的凸性的积分放缩了。

设
\[f(x)=\left( \frac{\ln x}{x} \right)^2,\]
则
\[f''(x)=\frac2{x^4}(3\ln ^2x-5\ln x+1),\]
由此可以证明当 $x\geqslant 4.5$ 时 $f''(x)>0$，
于是根据 kuing.cjhb.site/forum.php?mod=redirect&goto=findpost&ptid=4042&pid=17611 二楼的定理，当 $k\geqslant 5$ 时，有
\[f(k)<\int_{k-0.5}^{k+0.5}f(x)\rmd x,\]
所以
\[\sum_{k=2}^nf(k)<f(2)+f(3)+f(4)+\int_{4.5}^{+\infty}f(x)\rmd x
=\frac{\ln^22}4+\frac{\ln^23}9+\frac{\ln^24}{16}
+\frac29\left(2+2\ln\frac92+\ln^2\frac92\right)
\approx 1.989977,\]
即得证。

另外，如果动用黎曼函数的话，极限大概是 $\zeta''(2)$，具体展开会是咋样的东西哩？俺就8懂了，得 @ 一下战巡。

战巡

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等于$\zeta''(2)$是很显然，问题是这个值近似等于多少太难弄...

abababa

回复 1# kuing

正好到第$21$项，才能让那个积分和前几项的差保持足够小。这真不好算，要是不知道那个定理，想估计一个值恐怕只能用软件了。