椭圆曲线的两道题

hbghlyj

点$O$在曲线$y^2-x (x-1) (x-λ)=0$上。
则4个点$A,B,C,D$处的切线经过点$O$，且这些点$A,B,C,D$不与$O$重合。
当点$O$在曲线上运动时，求证：线束$OA,OB,OC,OD$的交比为定值。

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2024-5-2 06:38 上传

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hbghlyj

MathOverflow的证明没看懂啊……
只会暴算的方法
@hbghlyj的回答

1. k/.FullSimplify[Solve[k^4-3 x0^2+8 k Sqrt[(-1+x0) x0 (x0-\[Lambda])]+(-1+\[Lambda])^2+2 x0 (1+\[Lambda])+2 k^2 (1-3 x0+\[Lambda]) ==0,k],x0>\[Lambda]]

复制代码

\[k=\left\{\begin{array}{l}
-\sqrt{x_0-\lambda }-\sqrt{2 x_0+2 \sqrt{(x_0-1) x_0}-1} \\
\sqrt{2 x_0+2 \sqrt{(x_0-1) x_0}-1}-\sqrt{x_0-\lambda } \\
\sqrt{x_0-\lambda }-\sqrt{2 x_0-2 \sqrt{(x_0-1) x_0}-1} \\
\sqrt{x_0-\lambda }+\sqrt{2 x_0-2 \sqrt{(x_0-1) x_0}-1} \\
\end{array}\right.\]

1. Simplify[((Subscript[k, OA]-Subscript[k, OD])(Subscript[k, OC]-Subscript[k, OB]))/((Subscript[k, OA]-Subscript[k, OB])(Subscript[k, OC]-Subscript[k, OD]))/.{Subscript[k, OA]->Sqrt[-1+2 x0-2 Sqrt[(-1+x0) x0]]+Sqrt[x0-\[Lambda]],Subscript[k, OB]->-Sqrt[-1+2 x0-2 Sqrt[(-1+x0) x0]]+Sqrt[x0-\[Lambda]],Subscript[k, OC]->Sqrt[-1+2 x0+2 Sqrt[(-1+x0) x0]]-Sqrt[x0-\[Lambda]],Subscript[k, OD]->-Sqrt[-1+2 x0+2 Sqrt[(-1+x0) x0]]-Sqrt[x0-\[Lambda]]},x0>\[Lambda]>1]

复制代码

\[\frac{\left(k_{\text{OA}}-k_{\text{OD}}\right) \left(k_{\text{OC}}-k_{\text{OB}}\right)}{\left(k_{\text{OA}}-k_{\text{OB}}\right) \left(k_{\text{OC}}-k_{\text{OD}}\right)}=\lambda\]
证毕。

青青子衿

hbghlyj 发表于 2024-5-2 06:40
当点$O$在曲线上运动时，求证：$(OA,OB,OC,OD)$是定值。

一楼的题目应该把线段长度的交比改成斜率的交比……
😬😬😬

青青子衿

hbghlyj 发表于 2025-1-10 14:29
线束的交比，可以这样写的吧？直线OA,OB,OC,OD构成的线束的交比，写成$(OA,OB,OC,OD)$ ...

那也要写清楚是共线四点的交比还是共点四线束的交比
我还以为是线段长度😥
共O点四线OA,OB,OC,OD的线束交比
\begin{align*}
\left(AB|CD\right)=\frac{\sin\langle{OA,OC}\rangle\sin\langle{OA,OD}\rangle}{\sin\langle{OB,OC}\rangle\sin\langle{OB,OD}\rangle}
\end{align*}
ABCD四点共线的四点交比
\begin{align*}
\left(AB|CD\right)=\frac{|AC|\cdot|BD|}{|BC|\cdot|AD|}
\end{align*}

math.stackexchange.com/questions/3173494/cross-ratio-of-points-in-the-real-projective-plane

hbghlyj

$P$ 是 $x=-\frac13$ 和椭圆曲线 $y^2=x^3 -\frac x 3 +b$ 的交点。

$A,B$ 是 $x$ 轴上的点，使得 $\angle PAB=\angle PBA=30^\circ$。

$C$ 是椭圆曲线上的任意点。

如何证明

三角形 $\triangle ABC$ 的九点圆心 $N$ 在椭圆曲线在 $C$ 点的切线上。

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2025-1-10 07:19
$C$ 是椭圆曲线上的任意点。
如何证明
三角形 $\triangle ABC$ 的九点圆心 $N$ 在椭圆曲线在 $C$ 点的切线上。

涉及切线，是否可以使用@kuing的回答所用的方法来证明呢

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2025-1-10 07:19
$C$ 是椭圆曲线上的任意点。
如何证明
三角形 $\triangle ABC$ 的九点圆心 $N$ 在椭圆曲线在 $C$ 点的切线上。

终于有人回答了：
math.stackexchange.com/questions/5020502/prove-that-the-nine-poi ... ipti/5023530#5023530