圆锥曲线轨道上的速度

hbghlyj

《圆锥曲线上速度的几何对应》写道：（作者：邱发文）

Geogebra里直接提供了“密切圆”的函数，只需要用到高中的基础知识，可以利用引力的法向分力提供向心力$F_n=\frac{mv^2}{r}$，从密切圆半径和法向力来反推速度

这个怎么从密切圆半径和法向力来反推速度啊

hbghlyj

$r=\frac1{\kappa}$是曲率半径，且$v\propto|Op|$，那么$$\frac{v^2}{r}\propto|Op|^2\kappa$$
引力和$\frac1{|PC|^2}$成正比，那么引力的法向分力就和$\frac1{|PC|^2}\sin\alpha$成正比，其中$\alpha$是切线与$PF_2$的夹角。
$$F_n\propto\frac1{|PC|^2}\sin\alpha$$
利用引力的法向分力提供向心力$$\frac1{|PC|^2}\sin\alpha\propto|Op|^2\kappa$$

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上图取自 Feynman's Lost Lecture 第162 页的图。

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$O$到切线的距离之积是$|OA|$
$C$到切线的距离之积是$|PC|\sin\alpha$
焦点O、C到切线的距离之积是定值，故
$$|Op|=2|OA|\propto\frac1{|PC|\sin\alpha}$$
代入$\frac1{|PC|^2}\sin\alpha\propto|Op|^2\kappa$得
$$\frac1{|PC|^2}\sin\alpha\propto\left(\frac1{|PC|\sin\alpha}\right)^2\kappa$$
约去$\frac1{|PC|^2}$得
$$\sin^3\alpha\propto\kappa$$
这就是@kuing 曾证明过的引理：

kuing 发表于 2020-7-29 17:52
引理：椭圆 `x^2/a^2+y^2/b^2=1` 上一点处的切线与焦半径的夹角为 `\alpha`，则该点处的曲率半径为 `b^2/(a\sin^3\alpha)`。