椭圆上一点和密切圆与椭圆的交点与原点共线

hbghlyj

点$C$为椭圆上一点,点$C$处的切线和椭圆的两轴交于$A,B$,点$C$处的密切圆和椭圆交于$C,D$,求证:$CD$过原点⇔$C$为$AB$中点.

证明： 若$C$为$AB$中点,过$O$作$OC$垂线,过$C$作$AB$垂线交于$E$,则$△CEO\sim△ABO$,所以$CE=CO·\frac{AB}{AO}=\frac{AB^2}{2AO}=C$处的曲率半径（见kuing的帖子）。

hbghlyj

$l_{AB}\cdot l_{CD}$、密切圆、椭圆 线性相关，因为它们都属于1个单点, 1个三重点的曲線系。