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本帖最后由 hbghlyj 于 2024-3-25 23:01 编辑
https://en.wikipedia.org/wiki/Vertex_(curve)#Cusps_and_osculation
Vertices are points where the curve has 4-point contact with the osculating circle at that point.[5][6]
In contrast, generic points on a curve typically only have 3-point contact with their osculating circle.
沈一兵-整体微分几何初步 2009 §1.3凸闭曲线 第69页：
定理 1.9 (四顶点定理) 平面上简单凸闭曲线至少有四个顶点.
证明 设 $C$ 是平面上简单凸闭曲线. 因为 $C$ 的相对曲率 $k_r(s)$是连续函数, 这里 $s$ 是弧长参数, 故 $k_r(s)$ 在闭曲线 $C$ 上有最大值和最小值的点. 设这两点为 $p, q$, 从而 $\mathrm{d} k_r$ 在 $p, q$ 处为零, 即这是 $C$ 上的两个顶点.
过 $p$ 和 $q$ 作直线 $m$, 点 $p, q$ 把 $C$ 分成两段曲线 $C_1$ 和 $C_2$. 可以断言, $C_1$ 和 $C_2$ 分别位于直线 $m$ 的两侧, 而且除 $p, q$ 外 $C_1$ 或 $C_2$ 不再与 $m$ 有交点. 因为否则的话, 比如 $C_1$ 与 $m$ 另有一个交点 $r$ (不同于 $p, q$ ), 见图 II-10. 由于凸性以及 $p, q, r$ 是 $C$ 上不同点, 故中间点 (比如说 $p$) 的切线与 $m$ 重合,而且由凸性推出 $m$ 在 $p, q, r$ 三点与 $C$ 相切. 但是, 另一方面, 除非线段 $\overline{r q}$ 属于 $C$, 否则 $q$ 和 $r$ 将落在邻近 $p$ (中间点) 的点的切线的两侧, 从而与凸性矛盾. 因此, 在 $p, q$ 处 $k_r$ $=0$. 既然这些点是 $k_r$ 的最大和最小值点, 故在整个 $C$ 上 $k_r=0$, 这是不可能的.
现选取坐标原点 $O$ 在直线 $m$ 上, 设 $m$ 的方程为 $n x=0$, 其中 $x$ 是直线 $m$ 上点的位置向量, $n$ 是 $m$ 的法向量. 直线 $m$ 把平面分成两部分:
\[
\begin{aligned}
& \pi_1: n x>0 \\
& \pi_2: n x<0 .\text { (图 II-11) }
\end{aligned}
\]
如果在 $C_1, C_2$ 上不再有顶点, 则 $\mathrm{d} k_r(s)$ 在 $C_1, C_2$ 上均不变号.不妨设在 $C_1$ 上 $\mathrm{d} k_r(s)>0$, 在 $C_2$ 上 $\mathrm{d} k_r(s)<0$. 于是, 无论在 $C_1$ 上还是在 $C_2$ 上均有
\[
(n x) \frac{\mathrm{d} k_r}{\mathrm{d} s}>0 \text {. }
\]
沿曲线 $C$ 积分,得
\[
\begin{aligned}
0 & <\int_C(n x) \frac{\mathrm{d} k_r}{\mathrm{~d} s} \mathrm{~d} s\\
&=\int_C \mathrm{~d}\left[(n x) k_r\right]-\int_C\left(n \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} s}\right) k_r \mathrm{~d} s \\
& =-\int_C n \cdot\left(k_r T\right) \mathrm{d} s\\
&=\int_C n \cdot \frac{\mathrm{d} N_r}{\mathrm{~d} s} \mathrm{~d} s \\
& =n \cdot\left(N_r(l)-N_r(0)\right)=0,
\end{aligned}
\]
这里 $l, T, N_r$ 分别是 $C$ 的长度、切向量、相对法向量. 这就得到矛盾. 因此, $C$ 上不可能只有两个顶点.
现设存在第三个顶点, 它位于 $C_1$ 或 $C_2$ 上, 比如在 $C_1$ 上, 则 $\mathrm{d} k_r(s)$在 $C_1$ 上要改变符号. 由于 $p$ 和 $q$ 是最大值和最小值点, $\mathrm{d} k_r(s)$ 在 $C_1$ 上要改变两次符号. 所以还存在第四个顶点. 定理证毕.
注：四顶点定理对平面简单闭曲线(不一定是凸的)也成立,但证明更困难. 可参考S. B. Jackson的文章 (Bull. Amer. Math. Soc. 1944,50: 564-578). 这个定理的结论不能再改进, 因为平面上椭圆恰有四个顶点 |
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kuing
发表于 2024-3-21 13:57
