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战巡
发表于 2024-8-1 16:23
它这个说法不严谨
你可以去看测度论关于积分内容，主要是以下几个东西
1、简单函数（Simple Function）
如果一个定义在定义域$X$上的实值函数只存在有限个函数值，称这样的函数为简单函数，有时也称为阶梯函数（Step Function）
因此，拥有$n$个函数值的简单函数也可以写成如下形式：
\[f(x)=\sum_{k=1}^na_k I(x\in E_k)\]
其中$\{a_1,a_2,...,a_n\}$为对应的$n$个函数值，$E_k\subseteq X$为互斥的集合，其中当$x\in E_k$时$f(x)=a_k$
比如$f(x)=1, x\in[-1,1]$，或者$f(x)=sign(x)$
注意，有限个简单函数的加、减、乘运算过后，仍然是简单函数
2、定理：
令$f$为定义域$X$上的非负可测函数，则必然存在非负的简单函数递增序列$\{f_n\}$，使得对任意$x\in X$，均有$f_n(x)\to f(x)$。
这就是和你那本书里不一样的地方，它说的是存在这样一个递增序列，而不是说随便怎么构造那个序列都递增
3、简单函数的积分
对简单函数$f(x)=\sum_{k=1}^na_kI(x\in E_k)$，定义其在全定义域上的积分值为
\[\int_Xfd\mu=\sum_{k=1}^na_k\mu(E_k)\]
4、单调收敛定理（Monotone Convergence Theorem）：
令$\{f_n\}$为在定义域$X$上几乎处处非负且可测的函数，且$f_n(x)\le f_{n+1}(x)$，对任意$n\in \mathbb{N}^+$几乎处处成立。令$f$为在定义域$X$上几乎处处非负且可测的函数，并有$f_n(x)\to f(x)$几乎处处成立，则有
\[\lim_{n\to\infty}\int_Ef_n(x)d\mu=\int_Ef(x)d\mu\]
其中$E\subseteq X$
就是这样来定义任意非负函数$f$的积分
然后再去定义函数的负区间，以及负积分，最后推广到任意函数的积分 |
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hbghlyj
发表于 2024-10-3 22:07
