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本帖最后由 kuing 于 2024-9-27 23:46 编辑 题：若对 `\forall x\inR`, `\exists a>0`，使得 `x^2+ax-a^2\geqslant x-am+1` 成立，则实数 `m` 的取值范围为？
群里网友 v6 对以下解法表示质疑：
我发现我好像变差了，初看时没看出啥问题，后来也是 v6 说了下才意识到，这个解法其实是将
“对 `\forall x\inR`, `\exists a>0` ……”
看成
“`\exists a>0`，对 `\forall x\inR` ……”
来解的。
交换“任意”“存在”是不等价的，比如说：
对 `\forall x\in[-1,1]`, `\exists a\in[-1,1]` 满足 `0.5\leqslant\abs x+\abs a\leqslant1`。这是真命题。
`\exists a\in[-1,1]`，对 `\forall x\in[-1,1]` 满足 `0.5\leqslant\abs x+\abs a\leqslant1`。却是假命题。
回到原题，我的解法也不是很简洁：
不等式整理为 `f(a)=-a^2 + (x + m) a + x^2 - x - 1\geqslant0`，`f(a)` 是开口向下的二次函数，要存在 `a>0` 满足此式，只要 `f(a)` 有正根即可，问题即转化为：
对任意 `x\inR`，关于 `a` 的方程 `f(a)=0` 至少有一个正根，求 `m` 的范围。
当 `x^2-x-1>0` 时显然两根一正一负；
当 `x^2-x-1\leqslant0` 时，就需要 `\Delta\geqslant0` 且 `x+m>0`。此处 `\Delta=(x+m)^2+4(x^2-x-1)`。
即要求当 `x^2-x-1\leqslant0` 时恒有 `m>-x` 且 `m\geqslant-x+\sqrt{-4(x^2-x-1)}`。
注意此时 `-x+\sqrt{-4(x^2-x-1)}=-x+\sqrt{(2+x)^2-5x^2}\leqslant-x+2+x=2`，当 `x=0` 取等，即 `-x+\sqrt{-4(x^2-x-1)}` 的最大值是 `2`，所以 `m` 的范围就是 `[2,+\infty)`。
答案竟然一样，我只能说这只是巧合。
或许还可以研究一下：什么情况下会有这种巧合？ |
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