一个函数问题，关于任意存在什么的

realnumber

$f(x)=\abs{\sqrt{x}-ax-b}$,对任意a,b,总存在$x_0\in$[0,4],有$f(x_0)\ge m$成立，求m的取值范围.

kuing

设 $f(x)$ 在 $[0,4]$ 上的最大值为 $M$，因为它与 $a$, $b$ 有关，所以把它记作 $M(a,b)$ 好些。

存在 $x_0\in[0,4]$ 使 $f(x_0)\geqslant m$ 等价于 $M(a,b)\geqslant m$。

要它对任意 $a$, $b$ 恒成立，就是要求出 $M(a,b)$ 的最小值（或下确界），所以转化出来的问题其实也是我们熟悉的类型，技巧型处理方法就是想象一下图形，找到取等点，配系数，搞不等式，大概就是酱紫
\[8M(a,b)\geqslant 3f(0)+4f(1)+f(4)
=3\abs{-b}+4\abs{1-a-b}+\abs{2-4a-b}
\geqslant \abs{-3b-4(1-a-b)+2-4a-b}=2,\]
得到 $M(a,b)\geqslant 1/4$，容易验证当 $a=1/2$, $b=1/4$ 时 $M(a,b)=1/4$，所以 $M(a,b)$ 的最小值就是 $1/4$，所以 $m$ 的取值范围就是 $(-\infty,1/4]$。


这套路是不是很熟悉？

realnumber

汗，不知道有这个办法.我是按关于$\sqrt{x}$2次函数,分a>0.125与a<0.125分2类，前一类凑不下去.

敬畏数学

这种问题，为何总取三个点的函数值（其实定义域内任何三个x均可吗？）。为何当后面那个不等式取等号时，前面三个点的函数值恰好相等且刚好达到最大值？

kuing

回复 4# 敬畏数学

想象图形，要根号函数（也就是抛物线）与直线的“差距”最小，然后想象下，就是从中间那样穿过去，剩下的东西自然就出来了。
很难表达，无能为力了，自己意会下好了

敬畏数学

pep.com.cn/rjwk/gzsxsxkj/2011/sxkj5/sxkj5zlgk … 20110728_1060480.htm
这么好的材料没有学会，这些材料太牛，不是一般的牛！顶起。

敬畏数学

已经想清楚。感谢。

敬畏数学

此题函数f(x)=|a根号x-bx—c|对于一切实数a,b,c，存在x0∈[0,4]，使得f(x0)>m，求m范围？

kuing

那只能是负了

敬畏数学

g(t)=|at^2-t+b|,t∈[0,2],最大值为M。
当a=0时，最大值在0或者2处取得，M>=max{g（0），g（2）}，2M>=|b|+|-2+b|>=2,M>=1,等号b=1;
当a<0，或者0<a<1/4时，最大值在0或者2取得，M>=max{g（0），g（2）}，2M>=|b|+|4a-2+b|>=|4a-2|,M>1/2且M≠1（等号a=1/4（趋近），b=1/2）;
当a≥1/4时，最大值在0，2或者1/2a取得，M>=max{g（0），g（2），g（1/2a）}，8M>=3|b|+|4a-2+b|+4|b-1/4a|>=|4a-2+4b-4b+1/a|=4a+1/a-2>=2,要同时取得等号，必须a=1/2,b=1/4.M>=1/4.
综上得a=1/2,b=1/4.M>=1/4.

hongxian

不开新贴了，再来一个

设函数$f(x)=\abs{x^3+ax^2+bx+c}$,$a,b,c\inR$,若对任意实数$a,b,c,$总存在实数$x_0\in[0,4]$使得不等式$f(x_0)\geqslant m$成立，求实数$m$的取值范围。

kuing

不开新贴了，再来一个

设函数$f(x)=\abs{x^3+ax^2+bx+c}$,$a,b,c\inR$,若对任意实数$a,b,c,$总存在实数$x_0\in[0,4]$ ...
hongxian 发表于 2017-5-25 14:48

这个玩的又是切比雪夫了啊

首先相当于求 $f(x)$ 在 $[0,4]$ 上最大值的最小值，令 $x=2+2t$，则 $t\in[-1,1]$，且 $f(x)=g(t)=\abs{8t^3+pt^2+qt+r}$，其中 $p$, $q$, $r$ 是关于 $a$, $b$, $c$ 的式子（这里不必管它具体是什么），设 $g(t)$ 在 $[-1,1]$ 上的最大值为 $M$，根据《数学空间》2014年第2期《一个三角恒等式与一个多项式结论》中的定理1以及定理2的证明过程，可知
\[6M\geqslant\sum_{k=0}^5g\left(\cos\frac{k\pi}3\right)\geqslant\frac32\cdot8=12,\]
所以 $M\geqslant2$，不难验证当 $f(x)=\abs{x^3-6x^2+9x-2}$ 时满足在 $[0,4]$ 上最大值为 $2$，从而 $m$ 的取值范围就是 $(-\infty,2]$。