$\forall a\exists b$ 和 $\exists b\forall a$

APPSYZY

题一：若对任意$x\in[1,4]$，存在$a\inR$，使得$\abs{x^2+ax+b}\leqslant2x\,\,(b>0)$恒成立，则实数$b$的最大值为____.
题二：若存在$a\inR$，使得对任意$x\in[1,4]$，$\abs{x^2+ax+b}\leqslant2x\,\,(b>0)$恒成立，则实数$b$的最大值为____.

isee

回复 1# APPSYZY

一会游客看到了，施展他的平移大法~

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（1）我的笨方法是分参，粗算是$9$，切点是$(3,-15)$。

（2）除了顺序不了一样，和（1）有什么不同？

kuing

回复 2# isee

分参不是挺好的么，即\[x+\frac bx+2\geqslant -a\geqslant x+\frac bx-2,\]然后分 `b` 与 `16` 的大小讨论一下即可得到最大是 9。

APPSYZY

回复 2# isee
一般情况下，$\forall a$和$\exists b$交换，似乎是不等价的，不知在这道题里，交换顺序会不会影响答案..

APPSYZY

题一中$a$与$x$的取值有关，而题二中$a$与$x$的取值无关

色k

回复 5# APPSYZY

如果是这样理解的话，那题一的b就可以任取了

realnumber

把问题搞得更简单点，要不先来看交换任意存在
题一：若对任意$x\in[1,4]$，存在$a\in R$，使得$ax+b\leqslant2x(b>0)$恒成立，则实数$b$的取值范围.
题二：若存在$a\in R$，对任意$x\in[1,4]$，使得$ax+b\leqslant2x(b>0)$恒成立，则实数$b$的取值范围.

游客

第二题：
当b最大时，抛物线过点（1，2），且与直线y=-2x相切。