函数问题，任意存在求范围，$f(x)=|2/x-ax-b|$

lrh2006

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2017-3-18 23:45 上传

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求助,请各位不吝赐教，谢谢

色k

为何不贴图？

色k

其实还是那类题目，那类套路，真没新意……

先翻译题目：
记 $f(x)$ 在 $[1,2]$ 上的最大值为 $M$，由于它跟 $a$, $b$ 有关，所以还是记为 $M(a,b)$ 好些。
存在 $x_0\in[1,2]$ 使 $f(x_0)\geqslant m$ 等价于 $M(a,b)\geqslant m$，它要对任意正数 $a$ 和实数 $b$ 恒成立，所以就是要求出 $M(a,b)$ 的最小值或下确界，翻译完毕。

然后就是老招式：
\[2M(a,b)\geqslant f(1)+f(2)=\abs{2-a-b}+\abs{1-2a-b}
\geqslant \abs{2-a-b-(1-2a-b)}=\abs{1+a}>1,\]
得到 $M(a,b)>1/2$，又当 $a\to0$ 且 $b=3/2$ 时容易验证 $M(a,b)\to1/2$，所以 $M(a,b)$ 的下确界就是 $1/2$，因此 $m$ 的取值范围就是 $(-\infty,1/2]$。

怎么样？是不是觉得似曾相识？我都不知写过多少遍类似这样的过程了……

lrh2006

回复 3# 色k


    为什么每次跟你一比，我都显得那么笨，好忧伤。。。把你曾经写过的这类题目链接发给我可以吗？我要恶补。。。还有，b=3/2是怎么看出来的？我看到一种解法，有点不明白，现在没时间了，中午或者晚上发给你瞧瞧。谢谢kk

kuing

回复 4# lrh2006

随便搜了下：
kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=3694
kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=4437
kuing.cjhb.site/forum.php?mod=redirect&goto=findpost&ptid=4245&pid=19055 （11楼）
kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=4081

还有我曾经玩公众号时撸的一篇：mp.weixin.qq.com/s/RAv2GPNvM_WU1hrwdeNXRA（此号已废，不必再关注）

《撸题集》里应该还有些，懒得翻了……

其妙

来一个变式题：

lrh2006

谢谢两位。我这里有一种解法，第一条式子看不懂，可否解释下，
为何g(x)max-g(x)min>=2m
谁能给我解释下为什么有这条式子啊？

kuing

来一个变式题：

其妙 发表于 2017-3-19 17:21

既然 $a$, $b\inR$，为什么不简化一下 $f(x)$，改成 $\left|\dfrac1x-ax-b\right|$ 不是更好看么，反正一样。

这变式比1楼的好些，至少不单调，不过还是很简单且没新意。
\begin{align*}
6M(a,b)&\geqslant 2f\left( \frac12 \right)+3f(1)+f(2) \\
& =\abs{5-a-2b}+\abs{6-3a-3b}+\left| \frac52-2a-b \right| \\
& \geqslant \left| 5-a-2b-(6-3a-3b)+\frac52-2a-b \right| \\
& =\frac32,
\end{align*}
得 $M(a,b)\geqslant1/4$，当 $a=0$, $b=9/4$ 取等。

其妙

回复 8# kuing
这么没有，那个大拇指的表情了？

kuing

回复  kuing
这么没有，那个大拇指的表情了？
其妙 发表于 2017-3-19 23:44

[ 强 ] ←去掉空格就行

lrh2006

谁能解释下7楼的问题啊？先谢谢了

lrh2006

都没有人愿意解释下吗？是太明显懒得说吗？为啥我看不出来？

kuing

回复 12# lrh2006

你就想象一下，一条曲线在上下平移，什么时候曲线上的点与x轴的最大距离最小。

lrh2006

回复 13# kuing


    我笨得很，还是无法理解为何g(x)max-g(x)min>=2m，kk能不能再解释下呀

kuing

回复 14# lrh2006

我只能建议你继续思考13楼的问题
要不，我将13楼的问题翻译一下：如果 f(x) 的范围是 [m,n]，当 b 取何值时 |f(x)-b| 的最大值最小？

lrh2006

回复 15# kuing


    kk你别打我啊，我真是越来越糊涂了，我不明白我的问题和你的回答有啥关系，你不要生气啊

kuing

那我放弃了

lrh2006

回复 17# kuing

lrh2006

回复 17# kuing


    我懂了，谢谢kk赐教！链接都会好好学习的，《撸题集》有纸质的吗？有的话我一定去买，说实话对我这个笨人来说，看着有点吃力，另外在电脑上看不方便，嘻嘻

色k

回复 19# lrh2006

没有
那个估计也不太适合你，算了呗。