集合的元素整除

力工

对任意的$n\inN_+,n>1$,如果$x_1,x_2,\cdots ,x_n$都是正整数，且集合{${x_1,x_2,\cdots ,x_n}$}中的n个元素之积都是其中任意两个元素之和的倍数，证明：这样的$n$元集合有无限多个。
首先想到这个题与{$1,2,3$}有关，但构造觉得有失普遍。比如${2,6,10$}也可以了。

kuing

2,6,10 不符合啊

hbghlyj

力工 发表于 2024-10-23 05:49
集合{$x_1,x_2,\cdots ,x_n$}中的n个元素之积都是其中任意两个元素之和的倍数
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首先想到这个题与{$1,2,3$}有关

1,2,3 也不满足，因为 $1\times2\times3$ 不是 2+3 的倍数

hbghlyj

力工 发表于 2024-10-23 05:49
集合{$x_1,x_2,\cdots ,x_n$}中的n个元素之积都是其中任意两个元素之和的倍数

这是否意味着 $x_1x_2\dots x_n$ 是 $\{x_i+x_j\}_{1\le i<j\le n}$ 的公倍数？
例如 {$x_1,x_2$}={3,6} 则 $x_1x_2=18$ 是 $x_1+x_2=9$ 的倍数。

hbghlyj

集合 $\{3, 12, 15\}$ 符合条件。让我们确认一下：

3×12×15=540

3+12=15,3+15=18,12+15=27

540 确实是 15、18 和 27 的倍数。

hbghlyj

kuing 发表于 2024-10-23 08:20
2,6,10 不符合啊

2, 6, 10, 14

力工

kuing 发表于 2024-10-23 16:20
2,6,10 不符合啊

是的，我想错了，想成了$6$是$1,2,3$的倍数。

Aluminiumor

$\{k,2k,\ldots,nk\}$
其中 $k=(2n-1)!$