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$f(n,m)=\frac{(2n)!(2m)!}{n!(n+m)!m!}\inZ$
证明：对$n$归纳：
当$n=0$时$f(0,m)=\binom{2m}{m}\inZ$.
假设$f(i,j)\inZ$，
$$f(i+1,j)=\frac{(2(i+1))!(2j)!}{(i+1)!(i+1+j)!(j)!}=\frac{(2i+2)(2i+1)(2i)! (2j)!}{(i+1)i! (i+j+1)(i+j)! j!}=\frac{2(2i+1)}{i+j+1} \cdot \frac{(2i)!(2j)!}{i!(i+j)!j!}$$
$$4f(i,j)-f(i,j+1)=4\cdot\frac{(2i)!(2j)!}{i!(i+j)!j!} - \frac{(2i)!(2(j+1))!}{i!(i+j+1)!(j+1)!}=(4 - \frac{2(2j+1)}{i+j+1})\frac{(2i)!(2j)!}{i!(i+j)!j!}$$两边相等，说明$f(i+1,j)=4f(i,j)-f(i,j+1)\inZ$. |
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