取整函数

guanmo1

Tesla35

估计是中等数学

guanmo1

回复 2# Tesla35


    是的。求解答。

hbghlyj

guanmo1 发表于 2018-10-23 08:14
8. 用 $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数,令 $\{x\}=x-[x]$. 则满足
$$
[(2 m+1) \{\sqrt{2 m+1}\}]=m
$$
的所有自然数 $m$ 的平方和为

令 $2 m+1=n$. 则 $2[n\{\sqrt{n}\}]=n-1$.
注意到， $2 n\{\sqrt{n}\}-2<n-1 \leq 2 n\{\sqrt{n}\} \Rightarrow-1 \leq 2 n\{\sqrt{n}\}-n<1$
$\Rightarrow n \left| 2 \sqrt{n}-2[\sqrt{n}]-1 \right|\leq 1$
由此可得 $n\left|4 n-(2[\sqrt{n}]+1)^2\right| \leq 2 \sqrt{n}+2[\sqrt{n}]+1 \leq 4 \sqrt{n}+1$.
当 $n=1$ 时，有 $n-2[n\{\sqrt{n}\}]=1$；当 $n>1$ 时，由 $n=2[n\{\sqrt{n}\}]+1$ 为奇数，知 $n \geq 3$.
故 $\left|4 n-(2[\sqrt{n}]+1)^2\right| \leq \frac{4}{\sqrt{n}}+\frac{1}{n}<3$.
于是，$4 n-(2[\sqrt{n}]+1)^2= \pm 1$
由此得 $2 n-1=2[\sqrt{n}]([\sqrt{n}]+1)$ 或 $n=[\sqrt{n}]([\sqrt{n}]+1)$，矛盾.
综上，所求正整数 $n$ 只能是 $1$.
从而 $m=0$. 故 $m^2=0$.

hbghlyj

1. Reduce[Floor[(1 + 2 n) SawtoothWave[Sqrt[1 + 2 n]]] == n, n, Integers]

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输出 n==0
这正确吗？