目测kk不会求打脸

琉璃幻

设$r$是至少为$1$的实数。证明对于任意正整数$m,k$, $[kmr]/[mr]$是整数的充分必要条件是$r$也是整数

战巡

回复 1# 琉璃幻


这个也不难吧，目测某k也能想出来
$r$为整数时显然$\frac{[kmr]}{[mr]}$为整数，就不废话了

当$\frac{[kmr]}{[mr]}=p\in N^+$时，$mr=[mr]+\{mr\}$，有：
\[k[mr]+[k\{mr\}]=p[mr]\]
\[k+\frac{[k\{mr\}]}{[mr]}=p\]
因为要对任意$k$成立，而当$mr\ge 2$时，若$\{mr\}\ne 0$，必然可以找到一个$k$使得$[k\{mr\}]=1, k+\frac{[k\{mr\}]}{[mr]}$不为整数，也就不对了
所以当$mr\ge 2$时一定有$mr \in N^+$，而加上$m$的任意性，只能是$r\in N^+$

于是当$mr<2$时又当如何？
根本无所谓，反正$m$任取，对任意给定的$r$总能找到$m$使得$mr\ge 2$，所以$r$必须为正整数

琉璃幻

回复 2# 战巡

这样就打不到脸咯