转个取整函数

realnumber

实验班nn

abababa

和我以前问的一个题很像，我以前问的是解方程$x = \sum_{i = 2}^{2012} [\dfrac{x}{i}]$
当时人教论坛的版主和一位网友都给了解答，把那位网友的解答发上来
由于右端为整数，所以$x$为整数，令$A =\sum_{i = 5}^{2012} [\dfrac{x}{i}]$
由于$[x] + [y] \le [x+y]$，所以$x = [\dfrac{x}{2}] + [\dfrac{x}{3}] + [\dfrac{x}{4}] + A \le [\dfrac{13x}{12}] + A = x + [\dfrac{x}{12}] + A$
所以$0 \le [\dfrac{x}{12}] + A$，当$x < 0$时$[\dfrac{x}{i}] \le -1$，所以$[\dfrac{x}{12}] + A \le -2009$，无解，所以$x \ge 0$
由于$[x] + [y] + 1 \ge [x+y]$，所以$x = ([\dfrac{x}{2}] + [\dfrac{x}{3}] + 1) + [\dfrac{x}{4}] + 1 + A - 2 \ge ([\dfrac{5x}{6}] + [\dfrac{x}{4}] + 1) + A - 2$
即$x \ge [\dfrac{13x}{12}] + A - 2 = x + [\dfrac{x}{12}] + A - 2$，即$2 \ge [\dfrac{x}{12}] + A$
右侧为$x$的不减函数，而当$x = 7$时右侧值为$3$，无解，所以$0 \le x \le 6$，检验得$x = 0, 4, 5$
楼主所提的问题应该是一样的吧，最大值是5

realnumber

我是这样n=12代入第3个，右边是6+4+3>12,可见$n\ge12$时，不符合第3个以及以后的等式，代入第一第二个也不成立。
依次用n=11,10,9,8代入第3，4个，发现n=10符合第3个，即为所求最大值．

007

n=23符合第三个等式

abababa

哦，原来有的加不到那么多项，按2楼中的方法，$i \ge 7$时的解只有$n=0,4,5$，$i < 7$时再用$[x]+[y]+1 \ge [x+y]$这个不等式就可以限制很多数了
如果加数加到$[\frac{n}{6}]$，那么就是$n \ge n+[\frac{27n}{60}]-4$，有$n \le 11$
如果加到$[\frac{n}{5}]$，那么就是$n \ge n+[\frac{17n}{60}]-3$，有$n \le 14$
如果加到$[\frac{n}{4}]$，那么就是$n \ge n+[\frac{n}{12}]-2$，有$n \le 35$
如果加到$[\frac{n}{3}]$，那么就是$n \ge [\frac{5n}{6}]-1$，有$n \le 1$
如果加到$[\frac{n}{2}]$，那么就是$n = [\frac{n}{2}]$，有$n=0$
这样就是$n=23$是最大的，不知道有没有不分类的更简单的方法

realnumber

\begin{align*}
&         先考察第3个等式，设n=12r+p,其中r,p为整数，r\ge0,0\le{p}\le{11},\\
&那么可得12r+p=6r+[\frac{p}{2}]+4r+[\frac{p}{3}]+3r+[\frac{p}{4}],即p=r+[\frac{p}{2}]+[\frac{p}{3}]+[\frac{p}{4}]\\
&p=0,4,6,8,9,10代入得r=0;p=1,2,3,5,7,11代入得r=1\\
&可见取r=1,p=11最大，即n=23.\\
&n>6时，第一第二两个等式，总是左边大，\\
&当n\ge24时，由以上分析第三个式子总是右边大，而后面一些等式也总是右边大．\\
\end{align*}

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\begin{align*}
&问题修改如下(分母依次为正偶数)\\
&n=[\frac{n}{2}]\\
&n=[\frac{n}{2}]+[\frac{n}{4}]\\
&n=[\frac{n}{2}]+[\frac{n}{4}]+[\frac{n}{6}]\\
&n=[\frac{n}{2}]+[\frac{n}{4}]+[\frac{n}{6}]+[\frac{n}{8}]\\
&\cdots\\
&         先考察第4个等式，设n=24r+p,其中r,p为整数，r\ge0,0\le{p}\le{23},\\
&那么可得24r+p=12r+[\frac{p}{2}]+6r+[\frac{p}{4}]+4r+[\frac{p}{6}]+3r+[\frac{p}{8}],即p=r+[\frac{p}{2}]+[\frac{p}{4}]+[\frac{p}{6}]+[\frac{p}{8}]\\
&p=3,5,7,11,15,23代入得r=2最大\\
&可见取r=2,p=23最大，即n=71.\\
&n\ge6时，第一第二第三两个等式，总是左边大，\\
&当n>71时，由以上分析第四个式子总是右边大，而后面一些等式也总是右边大．\\
\end{align*}

realnumber

\begin{align*}
&问题修改如下(n的系数依次为等比数列，公比\frac{2}{3})\\
&n=[\frac{4n}{5}]\\
&n=[\frac{4n}{5}]+[\frac{8n}{15}]\\
&n=[\frac{4n}{5}]+[\frac{8n}{15}]+[\frac{16n}{45}]\\
&\cdots\\
&更一般地，分母依次是正项等差或等比的如何，..\\
\end{align*}