2015年全国高中数学联赛陕西预赛二试第六题

yhg1970

设 $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数．已知 $a_k=\frac{1}{k^2}+\frac{1}{k^2+1}+\frac{1}{k^2+2}+\cdots+\frac{1}{(k+1)^2-1},k=1,2, \cdots$，求和 $\sum_{k=1}^n\left(\left[\frac{1}{a_k}\right]+\left[\frac{1}{a_k}+\frac{1}{2}\right]\right)$

战巡

回复 1# yhg1970


\[\int_{k^2}^{(k+1)^2}\frac{dx}{x}<a_k=\sum_{i=0}^{2k}\frac{1}{k^2+i}<\int_{k^2-1}^{(k+1)^2-1}\frac{dx}{x}\]
\[\frac{2}{k+1}<2\ln(1+\frac{1}{k})<a_k<\ln(\frac{k(k+2)}{(k+1)(k-1)})\]

另一方面：
令
\[f(k)=\ln(\frac{k(k+2)}{(k+1)(k-1)})-\frac{2}{k}\]
\[f'(k)=\frac{2(k^2-2k-2)}{(k-1)k^2(k+1)(k+2)}>0\]
得：
\[k>1+\sqrt{3}\]
而易证
\[\lim_{k\to\infty}f(k)=0\]
验证得$k>1$时都有$f(k)<0$
于是对$k>1$，都有：
\[\frac{2}{k+1}<a_k<\frac{2}{k}\]
剩下应该不用再说了

yhg1970

谢谢战巡相助，确实是专业水平手到擒来。
我曾经想到过用积分法分析调和级数的部分和，但能力有限做不下去。

其妙

回复 2# 战巡

yhg1970

官方解答，刊载于《中学数学教学参考》2015年第5期上旬刊
解题过程利用了Hermite恒等式
对正整数 $n$ 及一切实数 $x,[x]+\left[x+\frac{1}{n}\right]+\left[x+\frac{2}{n}\right]+\cdots+\left[x+\frac{n-1}{n}\right]=[n x]$ ．
特别地，当 $n=2$ 时有 $[x]+\left[x+\frac{1}{2}\right]=[2 x]$ ．

yhg1970

百度了一下Hermite的资料，想起了kuing，太有个性结果被应试教育毁了的孩子。

埃尔米特（Charles Hermite，1822—1901） 法国数学家。巴黎综合工科学校毕业。曾任法兰西学院、巴黎高等师范学校、巴黎大学教授。法兰西科学院院士。在函数论、高等代数、微分方程等方面都有重要发现。1858年利用椭圆函数首先得出五次方程的解。1873年证明了自然对数的底e的超越性。在现代数学各分支中以他姓氏命名的概念（表示某种对称性）很多，如“埃尔米特二次型”、“埃尔米特算子”等。

埃尔米特是十九世纪最伟大的代数几何学家，但是他大学入学考试重考了五次，每次失败的原因都是数学考不好。他的大学读到几乎毕不了业，每次考不好都是数学那一科。他大学毕业后考不上任何研究所，因为考不好的科目还是数学。数学是他一生的至爱，但是数学考试是他一生的恶梦。不过这无法改变他的伟大：课本上的“共轭矩阵”是他先提出来的；自然对数的底的“超越数性质”，在全世界，他是第一个证明出来的人。他的一生证明“一个不会考试的人，仍然能有胜出的人生”，并且更奇妙的是不会考试成为他一生的祝福。

埃尔米特从小就是个问题学生，上课时老爱找老师辩论，尤其是一些基本的问题。他尤其痛恨考试。他在后来的文章中写道：“学问像大海，考试像鱼钩。老师老要把鱼挂在鱼钩上，教鱼怎么能在大海中学会自由、平衡的游泳？”老师看他考不好，就用木条打他的脚，他恨死了。他后来写道：“达到教育的目的是用头脑，又不是用脚。打脚有什么用？打脚可以使人头脑更聪明吗？”他的数学考得特别差，主要原因是他的数学特别好。他讲的话更让数学老师抓狂。他说：“数学课本是一滩臭水，是一堆垃圾。数学成绩好的人，都是一些二流头脑的人，因为他们只懂搬垃圾。”他自命为一流的科学狂人。不过他讲的也没错，历史上最伟大的数学家大多是文学、外交、工程、军事等与数学不相干的科系出身的。埃尔米特花许多时间去看数学大师，如牛顿、高斯的原著。他认为只有在那里才能找到“数学的美，是回到基本点的辩论，那里才能饮到数学兴奋的源头。”他在年老时，回顾少年时的轻狂，写道：“传统的数学教育，要学生按部就班地、一步一步地学习，训练学生把数学应用到工程或商业上，因此，不重视启发学生的开创性。但是数学有它本身抽象逻辑的美，例如在解决多次方方程式里，根的存在本身就是一种美感。数学存在的价值，不只是为了生活上的应用，也不应沦为供工程、商业应用的工具。数学的突破仍需要不断地去突破现有格局。”

埃尔米特的表现让父母忧心。父母但求他能把书念好，再多的钱也愿意付出，就把他送到巴黎的路易大帝中学（Louis-le-Grand）。因着超卓的数学天份，他无法把自己塞入数学教育的窠臼，但是为了顺父母的意，又必须每天面对那些细微繁琐的计算，以致痛苦得不得了。这位孝顺的天才，似乎注定终生的自我折磨。巴黎综合工科技术学院（Polytechnique）入学考每年举行两次。他从十八岁开始参加，考到第五次才以吊车尾的成绩通过。其间他几乎要放弃时，遇到一位数学老师李察(Richard）。李察老师对埃尔米特说：“我相信你是自拉格朗日(Lagrange）以来的第二位数学天才。”拉格朗日被称为数学界的贝多芬，他所作的求根近似解被誉为“数学之诗”。但是埃尔米特光有天份不够，李察老师说：“你需要有上帝的恩典，与完成 学业的坚持，才不会被你认为垃圾的传统教育牺牲掉。”因此他一次又一次地落榜，却仍继续坚持应试。

埃尔米特进技术学院念了一年以后，法国教育当局忽然下一道命令：肢障者不得进入工科学系。埃尔米特只好转到文学系。文学系里的数学已经容易很多了，结果他的数学还是不及格。有趣的是，他同时在法国的数学研究期刊《纯数学与应用数学杂志》发表《五次方方程式解的思索》，震惊了数学界。

在人类历史上，第三世纪的希腊数学家就发现一次方程与二次方程的解法。之后，多少一流数学家埋首苦思四次方程以上到n次方程的解法，始终不得其解。没想到三百年后，一个文学系的学生，一个数学常考不及格的学生，竟然提出正确的解法。埃尔米特知道自己已经“对数学的开创性研究中毒很深，热爱得无法自拔”，幸得好朋友勃特伦(Bertrand）赶忙帮他补习学校要考的数学。对这一个具有开创性的天才，僵化的数学教育带来无边的苦难；惟有友谊的了解与鼓励能够支持他走下去，并使他在二十四岁时，能以及格边缘的成绩自大学毕业。由于不会应付考试，无法继续升学，他只好找所学校做个批改学生作业的助教。这份助教工作，做了几乎二十五年，尽管他这二十五年中发表了代数连分数理论、函数论、方程论……已经名满天下，数学程度远超过当时所有大学的教授，但是不会考试，没有高等学位的埃尔米特，只能继续批改学生作业。社会现实对他就是这么残忍、愚昧。

能够使埃尔米特不愤世嫉俗、坦然前行的动力是什么？ 有三个重要的因素。一是妻子的了解与同心。埃尔米特的妻子，是他大学好友勃特伦的妹妹，她无怨无悔地跟随这个不会考试的天才丈夫，一年一年地走下去。二是有人真正地赞赏他，不因他外表的残废与没有耀人的学位而轻视他。欣赏他的人后来也都在数学界享有盛名——包括研究无穷级数收敛、发散与微分方程式而著名的柯西(Cauchy），发表椭圆函数、行列式理论而著名的雅科比(Jacobi），《纯数学与应用数学杂志》的主编刘维尔(Liouville）。这些都是行家，而来自真正行家的惺惺相惜，比考试高分的一点虚伪荣耀，更能支助一个失败者走较远的路。三是埃尔米特的信仰。埃尔米特在四十三岁时染患一场大病，柯西来看他，并且把福音传给他。信仰给他另一种价值与满足。埃尔米特在四十九岁时，巴黎大学才请他去担任教授。此后的二十五年，几乎整个法国的大数学家都出自他的门下。我们无从得知他在课堂上的授课方式，但是有一件事情是可以确定的──没有考试。

不会考试给他带来许多麻烦：工作不顺利，多次重考，他人的轻视，自卑……。但是给他带来许多祝福：认识妻子、好友、信仰，与整个生命的成熟。后来美国加州理工学院数学系的教授贝尔(Bell），在他对历史上数学伟人的回顾上，用一段话描述埃尔米特：“ 历史上的数学家，愈是天才，愈是好讥诮，讲话愈多嘲讽。只有一个人例外，就是埃尔米特。他有真正完美的人格。”埃尔米特死于1901年1月4日。晚年写道：“三角几何是永恒的、不朽的。自然界里没有任何一个东西是绝对的三角形。但是在人的脑中却存在着完美、绝对的三角形，去衡量外面的形形状状。没有人知道为什么三角的总和就是180度，没有人知道为什么三角形的最长边对应最大角。这些三角几何的基本特性，不是人去发明出来或想象出来的，而是人在懵懂无知的时候，这些三角特性就存在，并且无论时空如何改变，这些特性也不会改变。我只不过是一个无意中发现这些特性的人。三角几何的存在，证明有一永久不改变的世界存在。”

埃尔米特是一位热心的数学传播者，他经常无保留地向数学界提供他的知识、想法以至创造性的思维火花，他一般通过书信、便条以及讲演进行这种传播．例如，他与T．J．斯蒂尔切斯（StieltjeS）两人从1882年到1894年间至少写过432封信．只要认真阅读埃尔米特的著作，就会发现，他提供了许多可以作为别人发现的序幕的例子，他的数学传播工作极大地促进了数学的发展．