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(1)
对于每个正整数 $n$ 证明 $[\sqrt{4n + 1}] = [\sqrt{4n + 2}] = [\sqrt{4n + 3}] = [\sqrt{n} + \sqrt{n + 1}]$
显然 $[\sqrt{4n+1}] = [\sqrt{4n+2}] = [\sqrt{4n+3}]$ 因为整数的平方 $\equiv 0,1 \pmod{4} $。
因此我们需要证明 $[\sqrt{n} + \sqrt{n+1}] = [\sqrt{4n + 1}]$。
让 $k \le [\sqrt{n} + \sqrt{n+1}] < k + 1$。平方得：
$$k^{2} \le 2n + 1 + 2 \sqrt{n}\sqrt{n+1} < (k+1)^2$$
因为\begin{array}l
2n + 1 + 2 \sqrt{n}\sqrt{n+1} > 2n + 1 + 2 \sqrt{n}\sqrt{n} > 4n + 1\\
2n + 1 + 2 \sqrt{n}\sqrt{n+1} < 2n + 1 + 2 \sqrt{n+1}\sqrt{n+1} < 4n + 3\end{array}所以 $4n + 1 < 2n + 1 + 2 \sqrt{n}\sqrt{n+1} < 4n + 3$。
这意味着 $[\sqrt{4n + 1}] \le [\sqrt{n} + \sqrt{n+1}] \le [\sqrt{4n + 3}]$。
但是$[\sqrt{4n + 1}] = [\sqrt{4n + 3}]$，这样我们就证明了等式。 |
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