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$\sum _{n=1}^x\lfloor n \sqrt{2}\rfloor$ 是否有闭合形式？
参见 math.stackexchange.com/questions/2029455
由于 $\lfloor \sqrt 2 k \rfloor$ 和 $\lfloor (2+\sqrt 2) k \rfloor$ 是互补的 Beatty序列，它们划分了整数，我们可以找到它们和的递推关系。为了求序列 $\lfloor \sqrt 2 k \rfloor$的和，我们先求连续整数的和
\begin{align*}
\sum_1^nk=&1+2+3+\dots+k+\dots+n\\
=&\frac{n(n+1)}2
\end{align*}
并减去被遗漏的项。即，
\begin{align*}
&(1+2+4+\dots+\lfloor \sqrt 2 k \rfloor+\dots+\lfloor \sqrt 2 n \rfloor)\\
=&(1+2+3+\dots+k+\dots+\lfloor \sqrt 2 n \rfloor)\\
&-(3+6+\dots+\lfloor (2+\sqrt 2) k \rfloor+...+\lfloor (2+\sqrt 2) {n'} \rfloor)\\
=&(1+2+3+\dots+k+\dots+n^*)\\
&-2(1+2+\dots+k+...+n')\\
&-(1+2+4+\dots+\lfloor \sqrt 2 k \rfloor+...+\lfloor \sqrt 2 {n'} \rfloor)\\
\end{align*}
其中 $n'=\lfloor (\sqrt 2-1) n \rfloor$ 和 $n^*=\lfloor \sqrt 2 n \rfloor$，得到
$$\sum_{k=1}^n\lfloor \sqrt 2 k \rfloor=\frac {n^*(n^*+1)}2 -n'(n'+1)-\sum_{k=1}^{n'} \lfloor \sqrt 2 k \rfloor$$
（注意 $n^*=n'+n$）。由于递推关系在每次迭代时将项数减少了 $1+\sqrt 2$ 的倍数，我们可以在 $n$ 是 $1+\sqrt 2$ 的幂的倍数时分析这个关系，并得出和的闭合公式。为此，我们定义一些整数。设
\begin{align*}
p_m&=\frac{(1+\sqrt 2)^m-(1-\sqrt 2)}{2\sqrt 2}^m\\
\text{和 }q_m&=\frac{(1+\sqrt 2)^m+(1-\sqrt 2)}{2}^m
\end{align*}
由于
\begin{align*}
&p_0=0,\\
&p_1=q_0=q_1=1,\\
&p_m=2p_{m-1}+p_{m-2}\\
\text{和 } &q_m=2q_{m-1}+q_{m-2},\\
\end{align*}
则对于每个整数 $m$，$p_m$ 和 $q_m$ 都是整数。
例如，我们取 $n=q_m$，所以
\begin{align*}
n'&=\lfloor (\sqrt2-1)n\rfloor\\
&=\lfloor \frac 12( \sqrt2-1)(1+\sqrt2)^m+\frac 12(\sqrt2-1)(1-\sqrt2)^m\rfloor\\
&=\lfloor \frac 12(1+\sqrt2)^{m-1}-\frac 12(1+\sqrt2)(1-\sqrt2)^m+\sqrt2(1-\sqrt2)^m\rfloor\\
&=\lfloor \frac 12(1+\sqrt2)^{m-1}+\frac 12(1-\sqrt2)^{m-1}+\sqrt 2(1-\sqrt2)^{m}\rfloor\\
&=q_{m-1}+\lfloor \sqrt 2(1-\sqrt2)^{m}\rfloor\\
&=q_{m-1}+\begin{cases}
1, & \text{如果 $m=0$} \\
-1, & \text{如果 $m$ 是奇数} \\
0, & \text{如果 $m>1$ 且是偶数}
\end{cases}
\end{align*}
递推关系现在可以使用分析工具，因为我们有不涉及取整函数的公式。取 $m>1$ 为简化。检查偶数和奇数 $m$，我们在两种情况下都得到相同的递推公式，所以
\begin{align*}
\sum_1^{q_m}\lfloor \sqrt2k\rfloor=&\frac{q_m(q_m+1)-q_{m-1}(q_{m-1}+1)}2\\
&+q_{m}q_{m-1}-\sum_1^{q_{m-1}}\lfloor \sqrt2n\rfloor
\end{align*}
这使我们可以通过对 $m$ 进行归纳证明
$$2\sum_{k=1}^{q_m}\lfloor \sqrt 2 k \rfloor=p_{2m}+q_{m-1}+(-1)^{m-1}$$
math.stackexchange.com/questions/2052179
oeis.org/A001951
JSTOR
2321643-cropped.pdf
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