大家都来写关于取整函数的性质（常见的与不常见的）

琉璃幻

(1) $[x]\le x<[x]+1$

(2)若$x\le y$,则$[x]\le [y]$

(3)对于任意整数$m$都有$[x+m]=[x]+m$

(4)$\left[\frac{[x]}{m}\right]=\left[\frac{x}{m}\right]$

(5)对于任意实数$a,b$, $\{a+b\}=\{\{a\}+\{b\}\}$

(6)对于任意实数$a,b$有$[2a]+[2b]\ge [a]+[b]+[a+b]$

(7)对于任意实数$x,y$,$[x-y]\le [x]-[y]\le [x-y]+1$

(8)对于任意实数$x,y$ $\{x+y\}\le \{x\}+\{y\}$

(9)对于任意实数$x,y$ $[x+y]\ge [x]+[y]$

战巡

回复 1# 琉璃幻

懒得写，自己看吧
en.wikipedia.org/wiki/Floor_and_ceiling_functions

Tesla35

我写过一个取整函数的文档还没有公布。
都是题目。哈哈哈哈

kuing

回复 3# Tesla35

585题库

琉璃幻

回复 2# 战巡

才这么点哪里够。。。
    我是求大家把自己知道的都贴出来

realnumber

要不算上取整函数的一些习题？

realnumber

某一书看到的问题
[$\dfrac{n}{3}$]+[$\dfrac{n+2}{6}$]+[$\dfrac{n+4}{6}$]=[$\dfrac{n}{2}$]+[$\dfrac{n+3}{6}$]

对于$n\in N^+$,
有[$\dfrac{n+1}{2}$]+[$\dfrac{n+2}{4}$]+[$\dfrac{n+4}{8}$]+[$\dfrac{n+8}{16}$]+...$=n$

Tesla35

看第三小节。有大量习题
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hbghlyj

realnumber 发表于 2014-12-16 05:24
某一书看到的问题

对于 (i)，令$n=6k+r$，其中 $r\in \{0,1,...,5\}$。那么左边是
$$\begin{eqnarray}
\Big[{n\over 3}\Big]+ \Big[{n+2\over 6}\Big]+\Big[{n+4\over 6}\Big] &= &\Big[{6k+r\over 3}\Big]+ \Big[{6k+r+2\over 6}\Big]+\Big[{6k+r+4\over 6}\Big]\\
&= &2k+\Big[{r\over 3}\Big]+ k+\Big[{r+2\over 6}\Big]+k+\Big[{r+4\over 6}\Big]\\
&= &4k+\underbrace{\Big[{r\over 3}\Big]+\Big[{r+2\over 6}\Big]+\Big[{r+4\over 6}\Big]}_{E_r}\\
\end{eqnarray}$$
$$E_r=\left\{%
\begin{array}{ll}
    0, & r=0,1\\
    1, & r=2 \\
2, & r=3 \\
3, & r=4,5 \\
\end{array}%
\right.$$
右边是
$$\begin{eqnarray}
\Big[{n\over 2}\Big]+ \Big[{n+3\over 6}\Big]&= &\Big[{6k+r\over 2}\Big]+ \Big[{6k+r+3\over 6}\Big]\\
&= &3k+\Big[{r\over 2}\Big]+ k+\Big[{r+3\over 6}\Big]\\
&= &4k+\underbrace{\Big[{r\over 2}\Big]+\Big[{r+3\over 6}\Big]}_{F_r}\\
\end{eqnarray}$$
$$F_r=\left\{%
\begin{array}{ll}
    0, & r=0,1\\
    1, & r=2 \\
2, & r=3 \\
3, & r=4,5 \\
\end{array}%
\right.$$
所以对于所有 $r$，两边都是相同的。

hbghlyj

realnumber 发表于 2014-12-16 05:24
对于$n\inN^+$,有$$\left[\dfrac{n+1}{2}\right]+\left[\dfrac{n+2}{4}\right]+\left[\dfrac{n+4}{8}\right]+\left[\dfrac{n+8}{16}\right] + \dots=n$$

提示：使用恒等式 $[x]=\left[\dfrac x2\right]+\left[\dfrac{x+1}{2}\right]$
$$\left[\frac{n+1}{2}\right]=[n]-\left[\frac n2\right]$$
$$\left[\frac{n+2}{4}\right]=\left[\frac{n}{2}\right] - \left[\frac{n}{4}\right]$$
$$\left[\frac{n+4}{8}\right]=\left[\frac{n}{4}\right] - \left[\frac{n}{8}\right]$$