一道正四面体的问题

hjfmhh

在棱长为 2 的正四面体 $A B C D$ 中，$M, N$ 分别为棱 $B C, A D$ 的中点，$\overrightarrow{B P}=\lambda \overrightarrow{B A}, \lambda \in(0,1)$，$\overrightarrow{C Q}=\mu \overrightarrow{C D},\mu \in(0,1)$，则下列说法正确的是（）

• $M N=\sqrt{2}$
• 当 $\lambda=\mu=\frac{1}{2}$ 时，$P Q$ 与 $M N$ 异面
• 当 $\lambda+\mu=1$ 时，多面体 $A P M Q N$ 的体积为定值
• 过 $P$ 作平面 $\alpha \perp M N$，平面 $\alpha$ 分别交 $A C, C D, B D$ 于点 $E, F, G$，则四边形 $P E F G$ 面积的最大值为 1

选项CD有什么好方法？这种试题怎么命制的？

kuing

C 选项不严谨，没强调多面体 APMQN 是否为凸多面体
——它既可以是三棱锥 A-PMN 与 A-QMN 的组合，也可以是三棱锥 A-MPQ 与 A-NPQ 的组合。

D 选项：显然 PEFG 为矩形且周长恒为 4，故当它是正方形时面积最大为 1，正确。

hjfmhh

kuing 发表于 2025-5-30 21:35
C 选项不严谨，没强调多面体 APMQN 是否为凸多面体
——它既可以是三棱锥 A-PMN 与 A-QMN 的组合，也可以是 ...

是这样将多面体APMQN分两类是吗？每一类的体积是定值吗？是多少？

hjfmhh

kuing 发表于 2025-5-30 21:35
C 选项不严谨，没强调多面体 APMQN 是否为凸多面体
——它既可以是三棱锥 A-PMN 与 A-QMN 的组合，也可以是 ...

是这样将多面体APMQN分两类是吗？每一类的体积是定值吗？

kuing

如果硬性规定为：三棱锥 `A`-`PMN` 与 `A`-`QMN` 的组合，则体积为定值。

证明很简单：
\begin{align*}
V(A\text-PMN)&=V(P\text-AMN)\\
&=\frac12V(P\text-AMD)\\
&=\frac12\cdot\frac{AP}{AB}\cdot V(B\text-AMD)\\
&=\frac12\cdot\frac{AP}{AB}\cdot\frac12V(ABCD)\\
&=\frac14(1-\lambda)V(ABCD),
\end{align*}
同理可得
\[V(A\text-QMN)=\frac14(1-\mu)V(ABCD),\]
所以当 $\lambda+\mu=1$ 时
\[V(A\text-PMN)+V(A\text-QMN)=\frac14V(ABCD).\]

于是，如果规定为另一种组合，或者规定为凸多面体，则都不是定值，因为会相差四面体 `PMQN` 的体积，这块体积显然是变化的。

因此要选项 C 成立，只能硬性规定为三棱锥 `A`-`PMN` 与 `A`-`QMN` 的组合才可以。