四面体角平分面的几何不等式

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四面体 $A_1 A_2 A_3 A_4$ 的体积为 $V$，各侧面为 $S_i(i=1,2,3,4)$，$T_{ij}(i, j=1,2,3,4, i \neq j)$ 为四面体 $S_i$ 与 $S_j$ 的角平分面，$D$ 为四面体内任意一点，$D$ 到四面体任意侧面 $S_i$ 的距离为 $d_i$，则
\[
\sum_{1 \leq i<j \leq 4} d_i d_j T_{i j}^2 \leq \frac{9}{4} V^2
\]等号成立的充要条件 $D$ 是与四面体的内心、重心三点重合。