证明或否定一个三角不等式

lemondian

已知$\triangle ABC$，设$D,E,F$分别$BC,CA,AB$为上的点，且$R,r$分别为$\triangle ABC$外接圆与内切圆的半径。证明或否定不等式：$(\dfrac{DE}{r})^2+(\dfrac{EF}{r})^2+(\dfrac{FD}{r})^2\geqslant \dfrac{288R}{27R+10r}$.

kuing

反例：取 `\triangle ABC` 为等腰直角三角形且 `A` 为直角，取 `D` 为 `BC` 中点，取 `AE=AF=AB/4`，此时不等式不成立。

敢问原题是啥？

lemondian

原题是直接证明这个不等式。
我按你举的例子算了两次，好象不等式是成立的呢，我又算错了？(真的算错了😣)

另，若不等式不成立，改成非等腰直角三角形是否成立？或改成非直角三角形，锐角（钝角）三角形呢？

lemondian

果然是我算错了😣

kuing

我刚刚算出比 1# 好得多的结果：
设 `\triangle ABC` 三边长为 `a`, `b`, `c`，面积为 `S`，点 `D`, `E`, `F` 分别在直线 `BC`, `CA`, `AB` 上，则
\[DE^2+EF^2+FD^2\geqslant\frac{12S^2}{a^2+b^2+c^2}.\]

lemondian

还是见不到答案哩。
另外，论坛这两天好难打开呀

ic_Mivoya

取 $G$ 为 $\triangle DEF$ 的重心，则：
$$DE^2+EF^2+FD^2=3(GD^2+GE^2+GF^2)$$
而由柯西不等式和面积关系可得：
$$\begin{aligned}
&~(GD^2+GE^2+GF^2)(a^2+b^2+c^2)\\
\ge&~(GD\cdot a+GE\cdot b+GF\cdot c)^2\\
\ge&~(2S_{\triangle GBC}+2S_{\triangle GCA}+2S_{\triangle GAB})^2\\
\ge&~4S^2
\end{aligned}$$
因此就有 $DE^2+EF^2+FD^2\ge\dfrac{12S^2}{a^2+b^2+c^2}.$

lemondian

ic_Mivoya 发表于 2024-4-21 16:07
取 $G$ 为 $\triangle DEF$ 的重心，则：
$$DE^2+EF^2+FD^2=3(GD^2+GE^2+GF^2)$$
而由柯西不等式和面积关系 ...

谢谢@ic_Mivoya!
有两个地方没看懂哩，请再指点一下：
（１）$DE^2+EF^2+FD^2=3(GD^2+GE^2+GF^2)$这个地方如何得到的？
（２）$(GD\cdot a+GE\cdot b+GF\cdot c)^2
\geqslant (2S_{\triangle GBC}+2S_{\triangle GCA}+2S_{\triangle GAB})^2$这个地方也没看明白？
(3)什么时侯取等呢？

另：@kuing是如何证明的呀？

lemondian

另：
因为$DE^2+EF^2+FD^2\ge\dfrac{12S^2}{a^2+b^2+c^2}$.
再由$S=sr,a+b+c=2s,ab+bc+ca=s^2+4Rr+r^2$.
可得$\dfrac{12S^2r^2}{a^2+b^2+c^2}=\dfrac{12s^2r^2}{4s^2-2(s^2+4Rr+r^2)}=\dfrac{6s^2r^2}{s^2-4Rr-r^2}$.
能否利用欧拉不等式，Ｇerretsen不等式什么的，得到关于$R,r$的不等式呢？请写一下。

kuing

我当时的思路是先确定何时取最小，再计算相关长度，没曾想竟然能有 7# 那样用柯西来玩，确实妙极。

以下是我的证明：首先易得如下引理（证明略）：

引理：已知定直线 `l` 及两定点 `A`, `B`，动点 `C` 在 `l` 上，设 `M` 为 `AB` 中点，则 `AC^2+BC^2` 取最小值当且仅当 `CM\perp l`。

回到原题，显然 `DE^2+EF^2+FD^2` 的最小值存在，根据引理，取最小值时必然满足：

`\triangle DEF` 的三条中线分别垂直于 `\triangle ABC` 的三边。

设 `G` 为 `\triangle DEF` 的重心，即取最小值时 `GD\perp BC`, `GE\perp CA`, `GF\perp AB`，下面证明此时必有
\[\frac{GD}{BC}=\frac{GE}{CA}=\frac{GF}{AB}.\quad(*)\]

如图，有
\[\frac{AB}{AC}=\frac{\sin C}{\sin B}=\frac{\sin\angle DGE}{\sin\angle DGF}=\left. \frac{2\S{DGE}}{GD\cdot GE}\middle/\frac{2\S{DGF}}{GD\cdot GF} \right.=\frac{GF}{GE},\]
所以
\[\frac{GE}{AC}=\frac{GF}{AB},\]
同理有另外一式，所以式 (*) 成立。

这样，设 `BC=a`, `CA=b`, `AB=c`，则有
\begin{gather*}
\frac{GD}a=\frac{GE}b=\frac{GF}c,\\
GD\cdot a+GE\cdot b+GF\cdot c=2S,
\end{gather*}
由此易得
\[GD=\frac{2aS}{a^2+b^2+c^2},~GE=\frac{2bS}{a^2+b^2+c^2},~GF=\frac{2cS}{a^2+b^2+c^2},\]
那么
\[DE^2+EF^2+FD^2=3(GD^2+GE^2+GF^2)=\frac{12S^2}{a^2+b^2+c^2},\]
这便是原题中 `DE^2+EF^2+FD^2` 的最小值，所以 5# 得证。

PS、值得一提的是，垂足有可能在三角形外，所以我 5# 命题中明确写“...在直线 `BC`, `CA`, `AB` 上”是为了确保能取等。

PS2、实际上这 `G` 也是 `\triangle ABC` 的“类似重心”（即重心的等角共轭点）。

lemondian

kuing 发表于 2024-4-22 03:06
我当时的思路是先确定何时取最小，再计算相关长度，没曾想竟然能有 7# 那样用柯西来玩，确实妙极。

以下是 ...

谢谢@kuing，还有这个地方没看明白：这两个三角形的面积为什么相等呢？
$\dfrac{2S_{\triangle DGE}}{GD\cdot GE} /\dfrac{2S_{\triangle DGF}}{GD\cdot GF}=\dfrac{GF}{GE}$

lemondian

若将1#的命题改为如下：
已知$\triangle ABC$，设$D,E,F$分别是内角平分线与$BC,CA,AB$的交点，且$R,r$分别为$\triangle ABC$外接圆与内切圆的半径。证明不等式：$(\dfrac{DE}{r})^2+(\dfrac{EF}{r})^2+(\dfrac{FD}{r})^2\geqslant \dfrac{288R}{27R+10r}$.

kuing

lemondian 发表于 2024-5-10 08:27
若将1#的命题改为如下：
已知$\triangle ABC$，设$D,E,F$分别是内角平分线与$BC,CA,AB$的交点，且$R,r$分别 ...

为啥还不把 r^2 乘到右边？

改成角平分线与对边交点的话，右边就没必要再保持 1# 的形式了，根据 kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=12086&page=1#pid58550 3# 的结果，实际上 `\sum DE^2` 都可以用 sRr 表示了
\[DE^2+EF^2+FD^2=\frac{8Rr^2\bigl((7R+8r)s^2-Rr(4R+r)\bigr)}{(s^2+2Rr+r^2)^2},\]
再用一下那啥 Ge... 不等式可得
\[\frac{8Rr^2(R+r)(7R^2+7Rr+6r^2)}{(2R^2+3Rr+2r^2)^2}\leqslant DE^2+EF^2+FD^2\leqslant\frac{8Rr(27R^2+23Rr-10r^2)}{(9R-2r)^2}.\]

lemondian

kuing 发表于 2024-5-10 21:43
为啥还不把 r^2 乘到右边？

改成角平分线与对边交点的话，右边就没必要再保持 1# 的形式了，根据 http:/ ...

你这个不等式左边更强！
问题是：命题人是如何得到这个不等式$DE^2+EF^2+FD^2\geqslant \dfrac{288Rr^2}{27R+10r}$的呢？
这个$\dfrac{288Rr^2}{27R+10r}$更“好看”哩

lemondian

kuing 发表于 2024-5-10 21:43
为啥还不把 r^2 乘到右边？

改成角平分线与对边交点的话，右边就没必要再保持 1# 的形式了，根据 http:/ ...

如何才能算出这个式子？用程序开挂吗？
$DE^2+EF^2+FD^2=\frac{8Rr^2\bigl((7R+8r)s^2-Rr(4R+r)\bigr)}{(s^2+2Rr+r^2)^2}$.
我手动算，搞不出来

我算到了：$EF^2=\dfrac{a^2b^2c^2+abc(a+b+c)(c+a-b)(a+b-c)}{(c+a)^2(a+b)^2}$
然后三式相加，就乱了，不知最后三式相加能化成什么样的形式？

lemondian

请大家帮个忙吧：
$R,r$分别为$\triangle ABC$外接圆与内切圆的半径.
下面两式如何证明？
能不能因式分解什么的？
（1）$28R^3r-43R^2r^2-20Rr^3-12r^4\geqslant 0$;
（2）$45R^4+16R^3r-121R^2r^2-140Rr^3-84r^4\geqslant 0$.

hejoseph

这两个分解就很简单了，猜测后验算都知道有因式 $R-2r$ 了
\begin{align*}
&28R^3r-43R^2r^2-20Rr^3-12r^4=r(R-2r)(28R^2+13Rr+6r^2)\\
&45R^4+16R^3r-121R^2r^2-140Rr^3-84r^4=(2R-r)(45R^3+106R^2r+91Rr^2+42r^3)
\end{align*}